矩阵相似性质与应用研究报告.docxVIP

个人资料整理 仅限学习使用 矩阵相像的性质与应用的研究 前言 矩阵相像的理论是数学剖析的重要观点之一，同时也是教学设计中的难点之一，特别是矩阵相像与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，常常将这两个问题紧凑的联系在一同。矩阵相像的观点是为深入研究矩阵特征而提出的，此中一部分的问题能够转变为与一个对角化矩阵相像问题从而使问题研究简化，而另一些矩阵不可以与一个对角矩阵相像，那么这种问题就只好用定义或许若而当标准型来解决。 因为矩阵相像的应用范围相当宽泛。本文主假如从矩阵相像定义以及各样性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够互相交融起来，更有益于学习者的掌握和应用。 矩阵相像的定义与基天性质 2.1 矩阵相像的定义 令 为非奇怪矩阵，观察矩阵 的线性变换 令线性变换 的特点值为 ，对应的特点向量为 ，即 将式 代入上式，即有 或 令 或 ，则式 能够写作 比较 和 两式可知，矩阵 A 和 拥有同样的特点值，并 且矩阵 B 的特点向量 是矩阵 的特点向量 的线性变换，即 。因为 个人资料整理 仅限学习使用 矩阵 和 的特点值同样，特点向量存在线性变换的关系，所以称这 两个矩阵“相像”。于是： 设 、 都是 阶方阵，如有可逆方阵 ，使 ，则称 是 的相 似矩阵。或许说矩阵 与 相像。对 进行运算 称为对 进行相像变 换。可逆矩阵 称为把 变为 的相像变换阵。 2.2 矩阵相像的一些基天性质： 自反性： 。 对称性： 则  。 传达性：  及  可得：  。 假如 阶矩阵 , 相像，则它们有同样的特点值。但抗命题不建立。 相像矩阵此外的一些特征： 1相像矩阵有同样的秩。 2相像矩阵的队列式相等。 3相像矩阵或都可逆，或都不行逆。当它们可逆时，它们的逆也相像。 4 则 ， 、 、 若 ， 均可逆）、 从而 ， 有同样的特点值。 相像对角矩阵的有关性质 3.1 矩阵可相像对角化的引入与定义 与 变换  设 是复数域 上的 维线性空间， 是 的一个线性变换。又 是 的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是 在这两组基下的矩阵 与 相像，即  。则线性 我们自然会问：矩阵选用第二组基  能否相像与一个对角形矩阵？换言之，能否能够适合的 ，使得线性变换 在这组基下的矩阵 是个对角矩阵 个人资料整理 仅限学习使用 呢？我们逐渐解决这个问题。 第一假想矩阵 能相像与一个对角矩阵，即设 (1 因此有 (2 若把 写成分块矩阵 ， 这里 代表 的 个列向量。应用矩阵乘法例则，简单考证 ， 故由 (2 式可得 (3 或 。 这说明，若 能够与对角矩阵相像，则可逆矩阵 的每个 个人资料整理 仅限学习使用 列向量 非零向量） 都知足 (3 式。简言之，对于 ，而且存在 个线性没关的特点向量 即有 取  阶矩阵 ， 维列向量 相应的特点值分别为 最后可获得 即 与对角形矩阵相像。 3.2 矩阵可相像对角化的性质 1）假如两个矩阵 和 都能够相像同一个对角矩阵 2）假如 阶矩阵 的每个 重特点根 ，有  ，那么  。 则  与 对角矩阵相像，不然不相像，其证明以下： 证明：设 阶矩阵 ，则有  的互异特点根为  ，其重数分别为 必有  个特点 根）， 而由  式获得  。 即齐次线性方程组  的基础解系有  个解向量。 由  式知道  有 个线性没关的特点向 量，故可获得 与对角矩阵相像。 3） 阶矩阵 可相像对角化的充足必需条件是 拥有 个线性没关的特点 向量。 4）数域 上的 级矩阵 可相像对角化的充足必需条件是对每个特点值均 有几个重数等于代数重数。 个人资料整理 仅限学习使用 5）数域 上的 级矩阵 可相像对角化的充足必需条件是 的最小多项式是 上互素的一次因式的乘积。 定理： 级矩阵 可相像对角化的充足必需条件是： 此中 ， , ， 是 的所有互不同样的特点 根。 证明：必需性 若 可相像对角化，则  ，又由  ，故有 充足性：若 ，则 有 个线性没关的特点向 量，故 可相像对角化。 3.3 相像矩阵与若尔当标准形 固然非纯真矩阵不可以相像于对角阵，但它能够相像于一个形式上比对角矩阵略微复杂的若尔当标准形 。因为若尔当标准形的独到构造揭露了两个矩阵相像的实质关系，故在数值计算和理论推导中常常采纳。利用它不单简单求出矩阵 的乘幂，还能够议论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。 定义：形如 的方阵称为  阶若尔当块。此中  能够是实数，也能够是复数。 定理：矩阵 的充要条件是他们相应的特点矩阵 。 每个 阶复矩阵 都与一个若尔当标准形 相像，且这个若尔当标准形在 不计此中若尔当块的摆列序次时，完整有矩阵 独一决定。 复矩阵 可对角化