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页眉内容 天体运动中的追及相遇问题 信阳高中陈庆威 在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如， A、B 两物体都绕同一中心天体做 圆周运动，某时刻 A、B 相距最近，问 A、B 下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要 多少时间等问题。 而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似 的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。 根据万有引力提供向心力， 即当天体速度增加或减少时， 对应的圆周轨道就会发生相应的变化， 所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。 天体运动的追及相遇问题中往往还因 伴随着多解问题而变得更加复杂， 成为同学们学习中的难点。 而解决此类问题的关键是就要找好角 度、角速度和时间等物理量的关系。 一、追及问题 【例1】如图 1所示，有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M做圆周运动，旋转方向相同， A 行星的周期 为 T1 ，B 行星的周期为 T2 ，在某一时刻两行星相距最近，则 ①经过多长时间，两行星再次相距最近？ ②经过多长时间，两行星第一次相距最远？ A B 解析 ： 、 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 ， T T A B A B 因此 1 2 。可见当 运动完一周时， 还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有 、 行星 M A B A B 和恒星 的连线再次在一条直线上， 且 、 在同侧，从角度上看，在相同时间内， 比 多转了 2 π； 如果 A、B在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内， A 比 B 多转了 π。所以再次相 距 最 近 的 时 间 t 1 ， 由 ； 第 一 次 相 距 最 远 的 时 间 t 2 ， 由 。如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么就 变成了多解性问题。 【例2 】如图 2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为 R，运转周期为 T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角 （简 称视角）。 已知该行星的最大视角为 θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行 精心整理 页眉内容 星的最佳时期。 若某时刻该行星正好处于最佳观察期， 问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历 多长时间？ 解析： 由题意可得行星的轨道半径 r Rsin / 设行星绕太阳的运行周期为 T ，由开普勒大三定律有： 3 3 R r 3 2 2 ，得： T T sin T T 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球 3 2 2 2 (1 sin ) T T T sin 3 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：