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2021年同济六版高等数学知识点整理 2021年同济六版高等数学知识点整理 PAGE / NUMPAGES 2021年同济六版高等数学知识点整理 第八章 向量在轴上投影： 性质：（即Prj），其中为向量与轴夹角； （即PrjPrj+ Prj）； （即PrjPrj）. 两个向量向量积：设，，则 = + + = 注： 二次曲面 椭圆锥面：； 椭圆抛物面：； （旋转抛物面：（把把面上抛物线绕轴旋转）） 椭球面：； （旋转椭球面：（把面上椭圆绕轴旋转）） 单叶双曲面：； （旋转单叶双曲面：（把面上双曲线绕轴旋转）） 双叶双曲面：； （旋转双叶双曲面：（把面上双曲线绕轴旋转）） 双曲抛物面（马鞍面）：； 椭圆柱面：； 双曲柱面：； 抛物柱面： 平面方程 平面点法式方程：，其中 是平面上一点，为平面一种法向量. 平面普通方程：，其中为平面一种法向量. 注：由平面普通方程可得平面一种法向量 若=0，则平面过原点； 若 若 平面截距式方程：，其中分别叫做平面在轴上截距. 两平面夹角： 特殊： 点到平面距离公式： 空间直线方程 空间直线普通方程： 空间直线对称式（点向式）方程：，其中为直线一种方向向量，为直线上一点 空间直线参数方程： 两直线夹角： 特殊： 直线与平面夹角： 特殊： 直线与平面平行或在平面内： 10、平面束方程： 设直线由方程组所拟定，其中不成比例，则平面为通过直线所有平面（不包括平面） 第九章 1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点 2、二重极限存在是指以任何方式趋于时，都无限接近于A，因而当以不同方式趋于时，趋于不同值，那么这个函数极限不存在 3、偏导数：求时，只要把其她量看作常量而对求导数； 求时，只要把其她量看作常量而对求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定持续； （2）为整体，不可拆分； （3）分界点，不持续点处求偏导数要用定义求 4、若函数在点可微分，则该函数在点偏导数、必然存在，且函数在点全微分为 5、若函数偏导数、在点持续，则函数在该点可微分 6、持续,偏导数不一定存在，偏导数存在,不一定持续； 持续,不一定可微，但可微,一定持续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在，不一定可微； 可微,偏导数不一定都持续；偏导数都持续，一定可微 7、多元复合函数求导法则： （1）一元函数与多元函数符合情形：若函数及都在点可导，函数在相应点具备持续偏导数，则复合函数在点可导，且有 （2）多元函数与多元函数复合情形：若函数及都在点具备对及对偏导数，函数在相应点具备持续偏导数，则复合函数在点两个偏导数都存在，且； （3）其她情形：若函数在点具备对及对偏导数，函数在点可导，函数在相应点具备持续偏导数，则复合函数在点两个偏导数都存在，且； 8、隐函数求导公式： （1）函数： （2）函数：， 9、空间曲线切线与法平面：设空间曲线参数方程为 为曲线上一点 假定上式三个函数都在上可导，且三个导数不同步为零 则向量为曲线在点处一种切向量，曲线在点处切线方程为：，法平面方程为： 如果空间曲线方程以形式给出， 则在点处切线方程为：， 法平面方程为： 如果空间曲线方程以形式给出，则在点处切线方程为： 法平面方程为： 10、曲面切平面与法线：设曲面方程为，为曲面上一点，则曲面在点处切平面方程为： ，法线方程为： 11、方向导数：若函数在点可微，那么函数在该点沿任一方向方向导数存在，且 ，其中是方向方向余弦 12、梯度：称为函数在点梯度，记作， 即= 13、设函数在点具备偏导数，且在点处有极值，则 14、设函数在点某邻域里持续且有一阶及二阶偏导数，又，令 ，则在点处与否获得极值条件如下： （1）时具备极值，且当时有极大值，当时有极小值； （2）时没有极值； （3）时也许有极值，也有也许没有极值 15、具备二阶持续偏导数函数极值求法： 第一步：解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点； 第二步：对每一种驻点，求出二阶偏导数值和； 第三步：定出符号，按14结论鉴定是不是极值，是极大值还是极小值 注：上述环节是求具备二阶持续偏导数函数得状况下，那么在考虑函数极值时，除了考虑函数驻点外，如果有偏导数不存在点，那么对这些点也要考虑 16、拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下也许极值点，可以先作拉格朗日函数，其中为参数.求其对及一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来： ，由这方程组解出及，这样得到就是函数在附加条件下也许极值点 第十章 1、二重积分性质 性质1：设为常数，则 . 性质2：如果闭区域被有限曲线分为有