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第3章 电阻电路的分析方法 电路的图 图论是数学家欧拉创始的。1736年欧拉解决了有名的难题：肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。 欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存在一条“单行曲线”。 A B C D 引例. 图论的来源 抽象 或 i1 i2 i3 i1 i2 i3 i1 i2 i3 ?i=0 电路的图（Graph） （或称网络拓扑图） 抽象 电路图 （Circuit） 结论： 电路是由具体元件构成的支路及结点的集合； 电路的“图”是由线段和点构成的，它反映了电路 结构的拓扑性质。 一. 电路的图 1.在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任意一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它连接到的结点也移去，所以允许有孤立结点的存在。若移去一个结点，则应当把与该结点相连的全部支路都同时移去。 2.电路的“图”是指把电路中每一条支路画成抽象的线段而形成的一个结点和支路的集合。显然，此线段也就是图的支路。 注意： 二、图的基本概念 图(a)中画出了一个具有6个电阻和2个独立电源的电路。如果假设每一个二端元件构成电路的一条支路，则图(b)就是该电路的“图”，它共有5个结点和8条支路。 图(b) R1 R6 R2 R3 R4 R5 + - uS1 iS5 图(a) 如果假设把元件的串联组合作为一条支路处理，即把图(a)中电压源uS1和电阻R1的串联组合作为一条支路。图(a)所示的电路对应的图如图(c)所示。它共有4个结点和7条支路。 图(c) 图(d) 还可以假设把元件的并联组合作为一条支路，例图(a)中电流源iS5和R5的并联组合作为一条支路，这样图(a)所示的电路对应的图如图(d)所示。它共有4个结点和6条支路。 R1 R6 R2 R3 R4 R5 + - uS1 iS5 图(a) 标有支路方向的图称为有向图。未赋予支路方向的图称为无向图。 结论：当采用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的结点数和支路数将随之而不同。 无向图 有向图 1.路径：从图G的一个结点出发,沿着一些支路连续移动,到 达另一结点所经过的支路就构成了路径。 三、图的几个名词 2.连通图：图G中任意两个结点之间至少有一条路径的图，叫做连通图。G1是一个连通图。若图G具有互不相连的部分，则称之为非连通图，如G2。 G1： 2 1 3 4 3 1 2 4 5 6 G2： 2 1 3 4 1 2 3 4 5 4.自环：在图论中，一条支路不一定连接在两个结点上而可能连接于一个结点，此时就形成一个自环。 3.孤立结点：结点上没有任何支路与之相连。 孤立结点 自环 5.相关：图G中任意一条支路恰好连接在两个结点上，则称此支路与这两个结点彼此相关（或关联）。 G1： 2 1 3 4 3 1 2 4 5 6 6.子图：若图G1的所有结点和支路都是图G的结点和支路，则称图G1 为图G的一个子图。 G： G1： G2： 7.回路：回路L是连通图G的一个子图，它具有下述性质： （1）连通； （2）每个结点所关联支路数恰好为2。 1 2 3 4 5 6 7 8 2 5 3 回路 不是回路 1 2 7 5 8 4 树不唯一 16 个 8.树： 树T——连通图G的一个子图， 具有以下性质： （1）连通； （2）包含G 的所有节点； （3）不包含回路。 树支——属于树的支路 连支——属于图G而不属于树T的支路 树是连接全部结点所需要的最少支路的集合。 对于同一个图G的各个不同的树T，其树支的数目都是相同的。 结论：对于一个具有n个结点b条支路的图G来说： 树支数＝n－1 连支数＝b－(n－1) 例右图 n＝5 树支数＝5－1＝4 思考： （1）为什么相同？ （2）若节点数为n，则树支数为多少？ 这是因为：假设把图G的全部支路移去，只剩下它的n个结点，为了构成树，先用一条支路把任意两个结点连起来。之后，每连接一个新结点，只需要一条支路，这样