固体物理课后习题解答(黄昆版)第三章.docVIP

第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1已知一维单原子链，其中第丿个格波，在第〃个格点引起的位移 为，如血（呼」叫+巧），S为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移. 解：任意一个原子的位移是所令格波引起的位移的叠加，即 ”=工如=S Qj血（①f+M幻+ 5） J J Z=工如 工咸=工尤+工如刃： i 八丿 丿J 沖了 由于他j •如数目非常大的数最级，而且取止或取负儿率相等，因此上式得第2项与第一项 相比是一小龟，可以忽略不计。所以疋二工疋 J 由「“, “是时间/的周期性函数，其长时间卜均等r二个周期内的时间 卜均值为 A； = —Jo sm(呼 + 叫 + a^dt = -«； 已知较高温度卜的每个格波的能吊为KT. 的动能时间平均值为 dt = £ J7* cv} sing/ + naq』+ a ylt = —pwjLaj 2耳 0 4 It中L是原子链的长度，/?使质啟密度，％为周期。 1 1 所以几=护町La；违KT — KT 因此将此式代入（2）式有〜——T PL® —— — KT KT 1 所以每个原子的平均位移为/t；t==y^=y——=——vA ） * p5 pl■眄 3.2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a）,其2N格波 解，当M=m时与一维单原子链的结果 对应. 质杲为M的原子位J- 2n-l, 2n+l, 2n+3 ff. JsKa .门一血 1/ \/JsKa .一血 将us = ue ・e ,Vs = Ve •e •代入上式有 -Maru = C(10 + e~ika)V-1 lCu, -Ma2V = C (eika + 10)u-llCV, 3・4考虑一个全同原子组成的平面方格子，用己第1行，第m列 的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为M,最近邻原子的力 常数为c. （a ）证明运动方程为:M（~^）= 4（叫+叫-2如） +%,”* + 如 L1 - 2“穴）］ （b）设解的形式为s = “（o）exp［KZ +叭一呦，这里a是最近邻原 子间距，证明运动方程是可以满足的，如果 耐=242-遇（阳）-遇（切）］这就是色散关■ ■二凤■ ■ 帥-1 ?曲+ 1 解答（初禍〉作者 季正华 ・4・ ‘肿 / + 1,M2 2兀 （c）证明独立解存在的k空间区域是一个边长为万的正方形，这就 是平方格子的第一布里渊区，构出心人，而心时，和=k＞时的 图. （空严（叶 + k 泸=（ca2/M）l,2k （d）对于ka«l9证明 证明：（a）左方原子与它的相对位移为%-如小，右方原子与它的柑対位移为 他”田-“5,上方原子与它的相対位移为“5 -“一5，卜方原子与它的相对位移为 均并考世到力的方向性，得到上面平面格子的每个原子的力学方程为: M （攀=心,却-“）- c%,” - +心》-仏）-。（仏-+） 所以原命题的证。 =4（/仏，“ + - 2仏）+ + “小-2仏）W % = （°）唧（必+4一血）】为平面格子原子的运动方程 M+ 丛“ -2心的解 +仪/乜 + g - 2如J] ♦ [大I 为s = “(°)exp[i(/«d + mkya -血)] 所以可以得到 \ = “(°)exp{/[(/ + l)kxa + mkya-血]} = “(°)exp{4(/ - l)kxa + mk、ci — cot]} = 〃(°)exp[i(lg + (m + l)kya -血)] ⑤ 将①®③④⑤式代入卜面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系（这里代入过程从 略，请自己代入计算）： gtM = 2c（2 一 cos 伙 4） 一 cos 伙）a）］ （c）由色散关系占M心cos（3）-cos（RQ］和周期性边界条件可以得到 w （丄,3 a a 3.5已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为〃（〃 =一竺Ug其中 r r 马德隆常数0=1・75, n=9,平均离子间距/b = 2.82 Ao （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率 （2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与Nad红外吸收频率的测量 值61〃进行比较。 3.6计算一维单原子链的频率分布函数P@） 解：设单原子链长度L=Na In . In Na q = — x h q =— — 波矢取值 Na 每个波欠的宽度 Na，状态密度2力 —dq dq间隔内的状态数2穴 ，对应土q, co取相同值 p®dq = 2 ［大|此 2龙 co1 = — sin2(—) •维单原子链色散关系， 加 2 3・7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有欽9)= ©一的 求证：门必缶爲他Tfs仃如0口＞玛 解:a)a^时，co-Cf^ = Aq2 0/(d9