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第八章 参数估计; 对未知参数进行估计有两种方式，一种是通过样本X1， X2 ,… ， Xn对被估计的参数?合理地给出一个估计量 （表示?的估计量（值））这是所谓点估计问题。另一种是通过样本寻求一个区间，使之有一定把握包含被估计的参数? ，这是所谓区间估计问题;§8.1 估计量的优劣标准;（一） 一致估计 ;;（二）无偏估计;例1 从总体ξ中 取一样本（ X1, …,Xn ）， Eξ = μ ,Dξ = σ2 , 试证样本平均数 ;证 ;;若设 ;注：由于用S02 估计方差σ2时，有系统误差，所以，常用样本方差S2估计总体方差σ2 。 用n/n-1乘S02 ，所得到的估计量就是无偏的了，称S2为修正的样本方差，称S02 为未修正的样本方差。无偏性的要求正是引进修正样本方差的原因。 要注意，并非一切有偏估计都可修正为无偏的 ;如果从总体中随机取出两个相互独立的样本（ X11 , …,X1n1 ）及（X21 , …,X2n2），则可以证明; ;定义8.3 设 和 都是θ的无偏估计，若样本容量为 n , 的方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。如果在θ的一切无偏估计量中, 的方差达到最小，则 称为θ的有效估计量。;例2 比较总体期望值μ的两个无偏估计的有效性。;;;§8.2 获得估计量的方法——点估计;(一）矩估计法（简称“矩法”）;;;例1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时）问该天生产的灯泡平均寿命是多少？;（二）最大似然估计法; 最大似然估计法是要选取这样的 ，当它作为θ 的估计值时，使观察结果出现的可能性最大。;设ξ为连续性随机变量，它的分布函数是F(x;θ),概率密度是 ，其中θ是未知参数，可以是一个值，也可以是一个向量。由于样本的独立性，则样本X1, X2 ，…,Xn 的联合概率密度是;定义8.4 如果 在 处达到最大值，即存在 则称 是θ的最大似然估计。;求最大似然估计的步骤;如果θ是一个向量，即 ;例2 已知; ;例3 某电子管的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布（概率密度见例2），今抽取一组样本，其具体数据如??；问如何估计 ？;(x1, x2 …,xn)为ξ的一组样本观察值，用最大似然估计法估计μ,σ2 的值。;解似然方程组;;EX;;一、概念;未知参数的区间估计，应掌握两类题型;如何理解置信区间的置信度1?? ？;一 总体期望Eξ的区间估计;利用切贝谢夫不等式，有;即;例1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡,从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时），如果知道该天生产的灯泡寿命的方差是8，试找出灯泡平均寿命的置信区间（? = 0.05）.;2、总体分布为正态分布N(μ ， ?2 ), ?2已知，估计μ;即;例2 若灯泡寿命服从正态分布ξ～N( μ,8),从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时）试估计平均寿命所在范围（ ? =0.05）.;根据样本值计算;例3 已知某炼铁厂的铁水中含碳量在正常情况下服从 正态分布，其方差σ2 = 0.1082 .现在测定了9炉铁水，其 平均含碳量为4.484.按此资料计算该厂铁水平均含碳量 的置信区间，并要求有95% 的可靠性。;; 4、正态总体方差?2未知，期望μ的区间估计;例4 假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名婴儿，测其体重为3100，2520，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试以0.95的置信系数估计新生婴儿的平均体重（单位：g）;∴μ的置信度为0.95的置信区间是;在确定a,b时，一般取;例5 根据例4测的数据对新生男婴儿体重的方差进行区间估计（?=0.05）.