数学九年级浙教版相似多边形　图形的位似一周强化.docVIP

相似多边形　图形的位似一周强化 一、一周知识概述 1、相似多边形 　　对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2、相似多边形的性质 　　相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 　　性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 　　例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且．则： 　　(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′； 　　 　　(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k； 　　(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2． 3、位似图形 　　两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形． 　　位似图形的两个相关概念： 　　(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一点，叫做位似中心． 　　(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比． 　　说明：位似图形必须满足的两个条件： 　　（1）两个图形是相似图形； 　　（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合． 4、位似图形的性质 　　位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5、图形的相似与位似图形的区别与联系： 　　两个图形是相似图形，但不一定是位似图形； 　　两个图形是位似图形，它们一定是相似图形． 6、以原点为位似中心的位似变换的性质 　　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 　　若原图形上的点的坐标为（x,y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，-ky）． 二、典型例题讲解 例1、如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小． ? 解： 　　由相似多边形对应边成比例，得====． 　　∴ x=3，y=6，z=3． 由于对应角相等，∴ α=∠D=180°-∠A=118°． 　　β=∠B′=180°-∠C′=64°． 　　点评：① 应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解．② 一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角． 例2、如图所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形．试判断原来的长方形与新长方形是否相似． ? 解： 　　 新长方形的长为a+2x，宽为b+2x． 　　⑴ -== 　　∵ a ＞b ,x≠0 　　∴≠. 　　⑵ -= 　　== 　　∵a＞b，x≠， 　　∴≠. 　　由⑴、⑵知，这两个长方形对应边不成比例． 　　∴这个新长方形与原长方形不相似． 　　点评：① 此题看对应边是否成比例，用了作差的方法．若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等．② 找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况． 例3、某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图所示)，以给人一种和谐的感觉，那么这样的两个矩形是怎样设计出来的呢？ 分析： 　　如图所示，在封面矩形ABCD中，我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG与矩形PHCF相似，关键要确定两条分割线的交点P．当然，利用相似比可以算出或画出EP来，但是在设计时，两个相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算显然很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了．现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图所示，连接AP，PC，则(对应边成比例)，∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等)，于是△AEP∽△CFP，则有∠APE=∠CPF，这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上． 解： 　　如图所示，连接AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EF∥BC，GH∥AB． 　　则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形． 　　因为矩形的每一个内角都是直角，又由AE∥FC，AG∥CH， 　　可得△AEP∽△CFP，△AGP∽△CHP． 　　 　　所以矩形AEPG∽矩形CFPH，则 　　于是△AEP∽△CFP． 　　这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上． 例4、如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD以O为位似中心的位似四边形A′B′C′D′． 　　(1)沿OA方向放大为原图形的2倍； 　　(2)沿AO方向放大原图形的2倍． 分析： 　　此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2︰1，而(