2021年数列通项数列前n项和的求法例题练习.docVIP

通项公式和前n项和 新课讲授： 求数列前N项和办法 公式法 （1）等差数列前n项和： 特别，当前n项个数为奇数时，，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在诸多时候可以简化运算。 （2）等比数列前n项和： q=1时， ，特别要注意对公比讨论。 （3）其她公式较常用公式： 1、 2、 3、 [例1] 已知，求前n项和. [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求最大值. 错位相减法 这种办法是在推导等比数列前n项和公式时所用办法，这种办法重要用于求数列{an·　bn}前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：………………………① [例4] 求数列前n项和. 练习： 求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 答案： 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n 当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ] 倒序相加法求和 这是推导等差数列前n项和公式时所用办法，就是将一种数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例5] 求值 分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将此类数列恰当拆开，可分为几种等差、等比或常用数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列前n项和：，… 练习：求数列前n项和。 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中详细应用. 裂项法实质是将数列中每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去某些项，最后达到求和目. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） （5） (6) [例9] 求数列前n项和. [例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}前n项和. [例11] 求证： 解：设 ∵ （裂项） ∴ （裂项求和） ＝ ＝＝＝ ∴　原等式成立 练习：求 之和。 合并法求和 针对某些特殊数列，将某些项合并在一起就具备某种特殊性质，因而，在求数列和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°值. [例14] 在各项均为正数等比数列中，若值. 运用数列通项求和 先依照数列构造及特性进行分析，找出数列通项及其特性，然后再运用数列通项揭示规律来求数列前n项和，是一种重要办法. [例15] 求之和. 练习：求5，55，555，…，前n项和。 以上一种7种办法虽然各有其特点，但总原则是要善于变化原数列形式构造，使其能进行消项解决或能使用等差数列或等比数列求和公式以及其他已知基本求和公式来解决，只要较好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。 求数列通项公式八种办法 一、公式法（定义法） 依照等差数列、等比数列定义求通项 二、累加、累乘法 1、累加法 合用于： 若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列通项公式。 解：由得则 因此数列通项公式为。 例2 已知数列满足，求数列通项公式。 解法一：由得则 因此 解法二：两边除以，得， 则，故 因而， 则 2、累乘法 合用于： 若，则 两边分别相乘得， 例3 已知数列满足，求数列通项公式。 解：由于，因此，则，故 因此数列通项公式为 三、待定系数法 合用于 分析：通过凑配可转化为； 解题基本环节： 1、拟定 2、设等比数列，公比为 3、列出关系式 4、比较系数求， 5、解得数列通项公式 6、解得数列通项公式 例4 已知数列中，，求数列通项公式。 解法一： 又是首项为2，公比为2等比数列 ，即 解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2等比数列，再用累加法…… 例5 已知数列满足，求数列通项公式。 解法一：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2等比数列， 因此，即 解法二： 两边同步除以得：，下面解法略 注意：例6 已知数列满足，求数列通项公式。 解：设 比较系数得， 因此 由，得 则，故数列为觉得首项，以2为公比等比数列，因而，则。 注意：形如时将作为求解 分析：原递推式可化为形式，比较系数可求得，数列为等比数列。 例7 已知数列满足，求数列通项公式。 解：设 比较系数得或，不妨取， 则，则是首项为4，公比为3等比数列