样本协方差矩阵.pdfVIP

由三个总体X 、Y 、Z 构成3 维随机变量（X ，Y ，Z ）。该3 维随机变量的协方差矩阵为 Cov( X , X ) Cov( X ,Y ) Cov( X , Z )    Cov(Y, X ) Cov(Y,Y ) Cov(Y , Z )    Cov(Z, X ) Cov(Z,Y ) Cov(Z, Z )  有 （X1 ，Y1 ，Z1 ） （X2 ，Y2 ，Z2 ） （X3 ，Y3 ，Z3 ） （X4 ，Y4 ，Z4 ） （X5 ，Y5 ，Z5 ） 其中 X1 、X2 、X3 、X4 、X5 为总体X 的一个样本，Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 为总体Y 的一个样本，Z1、 Z2 、Z3、Z4、Z5 为总体Z 的一个样本。 1 5 1 5 1 5 样本平均值X Xi 、Y Yi 、Z Zi 分别是总体期望E(X)、E(Y)、E(Z)的无 5 i 1 5 i 1 5 i 1 2 1 5 2 2 1 5 2 偏 估 计 量 ， 样 本 方 差 S1 (Xi X ) 、 S2 (Yi Y ) 、 5 1 i 1 5 1 i 1 2 1 5 2 S3 (Zi Z ) 分别是总体方差D(X)、D(Y)、D(Z)的无偏估计量。 5 1 i 1 问题1： 由两个总体X 、Y 构成的2 维随机变量（X ，Y ）的协方差Cov （X ，Y ）的无偏估计量是什么？ 答： 1 n (X X )(Y Y ) X Y  i i ，其中 、 为样本均值。证明略 （只要证明样本协方差的数学 n 1 i 1 期望等于总体协方差）。 定义： 1 n 样本协方差 (X X )(Y Y ) i i n 1 i 1 另定义： n (X X )(Y Y ) i i 样本相关系数 i 1 （数学大辞典（第四卷）） n n (X X )2 (Y Y )2 i i i 1 i 1 问题2： 由 三 个总 体 构 成的 3 维 随机 变量 （ X ， Y ， Z ） 的 协方 差 矩阵 Cov( X , X ) Cov( X ,Y ) Cov( X , Z )    Cov(Y, X ) Cov(Y,Y )