近世代数 2.11同态与不变子群.docVIP

§11 同 态 与 不 变 子 群 一、同态基本定理 定理1 设G是一个群, NG, 则 ? : a → aN (aG) 是G到G/N的同态满射(称 ? 为自然同态). 因此G ~ G/N. 定义1 设 ? 是群G到的同态满射, 的单位元在 ? 之下的所有逆像作成的G的子集叫做同态满射 ? 的核, 记为Ker? . Ker? = { aG |? (a) =}. 推论 若N是群G的不变子群, ? 为G到商群G/N的自然同态, 则 N = Ker?. 定理2(群同态基本定理) 设 ? 是群G到群的同态满射, N = Ker? , 则NG, 且 G/N. 令 . 则ψ是G/N与间的一个同构映射. aN = bNb-1aN? (b-1a) =? (b)-1? (a) =? (a) =? (b) (ψ ( aN ) = ψ ( bN )) 例1 设G, 分别是阶为m, n的有限群, 且G ~, 证明 n|m . 二、子群的同态像 定义2 设 ? 是集合A到的一个满射. 如果Sa, 则称 为S在 ? 之下的像. 如果, 则称 为在 ? 之下的逆像(原像). Ker? = { aG | ? (a) =} = ? -1() 定理4 设群G与同态, 那么在同态满射? 之下, ( = 1 \* roman i) G的子群H的像是的子群; ( = 2 \* roman ii) G的不变子群N的像是的不变子群. 定理5 设群G与同态, 那么在同态满射? 之下, ( = 1 \* roman i) 的子群的逆像 ≤ G . ( = 2 \* roman ii) 的不变子群的逆像G . 三、同构定理介绍 定理6 (第一同构定理) 设群G, , 则NG, 且 证 记 令 则是G到的一个满射, 且 故是G到的同态满射. 根据同态基本定理, 命题得证 . 定理7(第二同构定理) 设H≤G，KG, 则H∩KH, 且 HK / KH / H∩K. 推论 设H, K是G的两个不变子群, 且KH, 则H/KG/K, 且 G/H(G/K) / ( H/K).