九年级数学奥数知识点专题精讲---一元二次方程的整数根 .docVIP

知识点、重点、难点 例题精讲 例1：当整数为值时，关于的一元二次方程的两个根均为整数。 例2：已知关于的方程的根是整数，求实数的值。 例3：已知关于的一元二次方程有两个整数根，且，求整数的值，并求此两个整数根。 例4：求出所有这样的正整数，使得关于的一元二次方程至少有一个整数根。 例5：证明：不论取什么整数，二次方程没有整数根。 例6：已知整数是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程求的值及此直角三角形的三边长。 习题 A卷 1. （填：“有”或“没有”）有理根。 2. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可取值的个数是 个。 3. 已知为正整数，方程有一个整数根，则 。 4. 满足的整数对共有 对。 5. 关于的方程有两个整数根，则整数的值是 。 6. 关于的方程有两个整数根，则实数的值是 。 7. 若关于的一元二次方程有两个正整数根，则的值是 ，方程的解是 。 8. 设为质数，且方程两个根都是整数，则的值为 。 9. 方程的正整数解的组数是 。 10. 求使关于的二次方程的两根都是整数的所有正数的和是 。 二、解答题 11. 已知方程有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）是负的偶数。 12. 若关于的二次方程有实根，且都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。 B卷 一、填空题 1. 关于的方程至少有一个整数根，则整数的值为 。 2. 要使方程的根都是整数，的值应等于 。 3. 关于的方程有两个不相等的整数根，则整数的值为 。 4. 关于的方程至少有一个正整数根，正整数的值为 。 5. 若都是正整数，方程的两根都为质数，则 。 6. 设为正整数，且，若方程的两根均为整数，则 。 7. 关于的方程 ① 与 ② 若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则 。 8. 是正整数，且满足，则的最大值是 。 9. 如设，其中为正整数，在0、1之间，则的值是 。 10. 关于的一元二次方程与方程的根都是整数，则的值为 。 二、解答题 11. 已知为整数，求证：关于的方程无整数根。 12. 已知关于的方程的两个根都是正整数，求证：是合数。 13. 一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，，试求的值及此直角三角形的三边长。 14. 是否存在这样的二位质数，它的十位数码为，个位数码为，而、使方程有整数根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的质数。 C卷 一、填空题 1. 关于的方程的两根都是整数，则实数可以等于 。 2. 关于的方程对于任意有理数，均有有理根，则实数的值为 。 3. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可以是 。 4. 若为整数，且关于的二次方程有两个整数根，则的值为 。 5. 设为整数，且方程的两个不同的正整数根都小于1，则的最小值为 。 6. 当有理数为 时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积。 7. 已知一元二次方程有两个正整数根，且为整数，则的值为 。 8. 已知为正整数，关于的一元二次方程的两根为质数，则此方程的根为 。 9. 若都是整数，则方程 （填“有”或“没有”）整数根。 10. 如图，正方形内接于，设（是一个两位数），三角形高已知是从小到大的四个连续正整数，则此的面积为 。 二、解答题 11. 是否存在这样的质数，使 方程有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的的值。 12. 关于的二次方程的两根都是整数，求实数的值。 13. 求所有的正整数，使得关于的方程的所有根均为正整数。 14.已知关于的方程有两个正整数根（是整数），的三边满足 求：（1） 的值；（2） 的面积。