研究旋转变换，聚焦数学思想.docVIP

精品文档，助力人生，欢迎关注小编！ 研究旋转变换，聚焦数学思想 杨峻峰 [摘 要] 旋转变换问题是新课标的重要内容之一，在中考中占据着较大的板块，同时也是教学的重难点. 文章从典型例题的剖析来研究旋转变换，拓展数学思维，聚焦数学思想，提高解决问题的有效性. [关键词] 旋转变换;解题思路;数学思想;数学思维 中考是对初中生学业水平的终端评价，是对学生数学学习所达水平的一种考查. 旋转问题属于数学探究的范畴，在中考中较为常见，大多以探究题和开放题的形式出现，对学生数学基本功以及观察能力、综合分析等能力都提出了较高的要求. 既然图形旋转问题如此重要，就需要广大数学教师在平时的教学中逐步渗透旋转思想，引导学生走入思维发展区，并引领学生进行类比和归纳，提高分析和解决问题的能力，同时对学生关键能力的发展和拓展数学思维有着不可估量的作用. 借助常规问题，理解解题思路，理解旋转思想 在数学解题的道路上，解题思路永远是解决数学问题的突破口，成功找寻到问题的切入口是成功解题的关键一环. 借助对图形的直观分析和思考，并通过数学的眼光进行抽象，指向数学学科的关键能力. 在平时的教学中，通过针对性训练不断渗透旋转思想，让学生理解图形旋转的基本性质，利用旋转前后图形全等的性质，得出解决问题的有效策略. 例1 如图1，已知正方形ABCD内有一点P，若将△ABP绕点B沿着顺时针方向进行旋轉后可以与△CBQ完全重合，且有BP=3，试求出PQ的长. 分析 借助图形旋转的性质，可得△ABP≌△CBQ，BP=BQ=3，∠PBQ=∠ABC=90°，则在Rt△PBQ中，利用勾股定理可得PQ=3 . 效能分析 本题是一道关于图形变换的平面几何试题，难度一般. 该题对旋转性质的运用有较好的启迪和导向作用，可以提高学生应用旋转性质的灵活性，并体会其在解决问题中的重要意义. 例2 如图2，已知等边三角形ABC内有一点O，∠AOB=110°，∠BOC=α，现将△BOC绕点C沿着顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD. （1）试证明△COD为等边三角形; （2）若α=150°，试判断△AOD的形状，并阐明原因; （3）若△AOD为等腰三角形时，试探究α的度数. 分析 （1）因为△ADC由△BOC旋转而得，所以有△BOC≌△ADC，则有CO=CD，∠BCO=∠ACD. 又因为∠BCA=60°，所以∠OCD=60°，所以△COD为等边三角形. （2）因为α=150°，所以∠ADC=∠BOC=150°. 又因为△COD为等边三角形，所以∠CDO=60°，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，所以△AOD为直角三角形. （3）因为在△AOD中，有∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°，当AO=AD时，则有∠AOD=∠ADO，所以190°-α=α-60°，所以α=125°;当AO=OD时，则有∠OAD=∠ADO，所以50°=α-60°，所以α=110°;当DO=AD时，则有∠AOD=∠OAD，所以50°=190°-α，所以α=140°. 效能分析 本题是对旋转性质的进一步运用和升华，旨在培养学生的探究能力和综合运用能力，并渗透了多个数学思想，如分类讨论思想等. 学生通过分析和解决本题，对旋转性质认识达到质的飞跃，在快速解决问题的同时感受图形的魅力和几何结论的美妙，进一步完善对旋转思想的理解. 借助问题探究，拓展思维，实现解题关键 在解决图形旋转这一类问题的过程中，利用好旋转变换，可以解决普通方法难以解决的很多问题，是实现正确解题的关键一环，通过灵活运用旋转变换的性质，积累解题经验，从空间变换层面可以拓展学生的思维，不断发展学生的想象能力和应用意识. 例3 如图3，已知等边三角形ABC内有一点P，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，试求出PA的长. 分析 若将△PAB绕点B沿着顺时针旋转60°，即可得到△DCB. 因为△PAB≌△DCB，所以PB=BD，PA=CD，∠PBD=∠ABC=60°，所以△BDP为等边三角形，则有PD=PB=2，∠BPD=60°. 又因为∠BPC=150°，所以∠DPC=90°. 在直角三角形DPC中，PD=2，PC=1，再借助勾股定理，可得CD=5？摇，所以PA=5？摇. 效能分析 本题乍一看与图形旋转并无关联，题目看似无从下手，而通过建构其与旋转变换的桥梁，问题即可迎刃而解.