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专题训练 ( 四 ) 求锐角三角函数 值的六种方法 ? 方法一 运用定义求锐角三角函数值 1．如图 4－ ZT－ 1，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ ABC的三个顶点均在格点 上，则 tan A 的值为 ( ) 图 4－ZT－1 4 A.5 B.5 4 C.4 D.3 2．如图 4－ ZT－ 2，在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝12， BC＝5. 求 AB的长； 求 sin A， cosA， tan A， sin B， cosB， tan B 的值． 图 4－ZT－2 ? 方法二 巧设参数求锐角三角函数值 3．在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°，若 sin A＝ 5 ，则 cosA 的值是 () 13 . 5 . 8 . 2 . 12 A 12 B 13 C 3 D 13 1 4．如图 4－ ZT－ 3，已知在 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， tan A＝ 2，求∠ B 的正弦、余弦值． 图 4－ZT－3 1 cosα 5．已知 α 为锐角，且 cosα ＝ 3，求 tan α＋ 1＋ sin α 的值． ? 方法三 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值 2 6．已知在 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， cosB＝3，则 sin B 的值为 ( ) 2 5 5 2 5 5 A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 ? 方法四 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 7．已知 0°＜∠ A＜ 90°，那么 cos(90 °－∠ A) 等于 ( ) A． cosA B． sin (90 °＋∠ A) C． sin A D． sin (90 °－∠ A) 8． (1) 在△ ABC中，∠ C＝90°， cosA＝ 7 ，求 sin B 的值； 15 (2) 若∠ A＝ 35°，∠ B＝ 65°，试比较 cosA与 sin B 的大小，并说明理由． ? 方法五 构造直角三角形求锐角三角函数值 9．如图 4－ ZT－ 4，在四边形 ABCD中， E， F 分别是 AB， AD的中点，若 EF＝ 2，BC＝ 5， CD＝ 3，则 tan C 等于 ( ) 图 4－ZT－4 3 4 3 4 A.4 B.3 C.5 D.5 10．由小正方形组成的网格如图 4－ ZT－ 5， A，B，C 三点都在格点上，则∠ ABC的正切 值为( ) 图 4－ZT－5 5 2 5 1 5 A. 5 B. 5 C. 2 D. 2 11．2017·山西一副三角尺按图 4－ ZT－ 6 所示的方式摆放，得到△ ABD和△ BCD，其中 ∠ADB＝∠ BCD＝ 90°，∠ A＝60°，∠ CBD＝ 45°.E 为 AB 的中点，过点 E 作 EF⊥ CD于点 F. 若 AD＝ 4 cm，则 EF的长为 ________cm. 图 4－ZT－6 1 12．如图 4－ ZT－ 7，在△ ABC中，∠ C＝ 150°， AC＝4， tan B＝ . 8 求 BC的长； (2) 利用此图形求 tan 15°的值 ( 精确到 0.1 ，参考数据： 2≈ 1.41 ， 3≈ 1.73 ， 5≈ 2.24) 图 4－ZT－7 ? 方法六 利用等角求锐角三角函数值 13．如图 4－ ZT－8，已知 AB是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，且 CD⊥AB，BC＝ 6，AC＝ 8，求 sin ∠ ABD的值． 图 4－ZT－8 14．如图 4－ ZT－ 9，在矩形 ABCD中，AB＝ 10，BC＝ 8，E 为 AD边上一点， 沿 CE将△ CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上的点 F 处，求 tan ∠ AFE的值． 图 4－ZT－9 详解详析 BC 1． [ 解析 ] D 在 Rt△ ABC中，∠ A 的对边 BC＝ 4，∠ A 的邻边 AB＝ 3，因此 tan A＝ ＝ AB 4 3. 故选 D. 2．解： (1)AB ＝ 2 2 AC＋BC＝ 13. (2) sin A＝ BC 5 ， A＝ AC 12 ， A＝ BC 5 B＝ AC 12 ， B＝ BC 5 ＝ 13 ＝ 13 ＝ ， ＝ 13 ＝ ， B AB cos AB tan AC 12 sin AB cos AB 13 tan AC 12 ＝ ＝ . BC 5 3． D 1 4．解： ∵∠ C＝90°， tan A＝ ， 2 ∴设 BC＝ x，则 AC＝ 2x， AB＝ 5x， AC 2x 2 5 BC x 5 sin B＝ AB＝ 5x ＝ 5 ， cosB＝ AB＝ 5x＝ 5 . 5．解： 如图，设 α 为直角三角形的一个锐角． 1 ∵ cosα ＝ 3， ∴设 α 的邻边中的直角边长为 k，斜边长为