一元线性回归分析讲义.pptVIP

第 2 章 一元线性回归分析 ? 一元线性回归模型； ? 线性回归方程的显著性检验； ? 预测值与预测区间； ? 可化为一元线性回归的曲线回归； ? 环境应用。 1 第 1 节 一元线性回归模型 ? 回归分析概述 ? 一元线性回归模型假设条件 ? 一元线性回归方程 ? 回归系数最小二乘法估计 2 “ 回归”一词是由英国生物学家高 尔顿 F.Galton(1822-1911 年 ) 在研究人体 身高的遗传问题时首先提出的。 发现儿子身高（ Y ，英寸）与父亲身高 （ X ，英寸）存在线性关系。也即高个 子父代的子代在成年之后的身高平均 来说不是更高，而是稍矮于其父代水 平，而矮个子父代的子代的平均身高 不是更矮，而是稍高于其父代水平。 Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称 之“回归” 。“高尔顿等人关于回归 分析的先驱性的工作，以及时间序列 分析方面的一些工作， … 是数理统计 学发展史中的重要事件 .”── 摘自《中 国大百科全书》（数学卷）。 3 ? 3 3.7 3 0.5 1 6 Y X ? ? (1) 回归分析概述 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数学方法。 八大功能 1.Water Quantity Treatment 2.Water Quality Treatment 3.Groundwater Recharge 4.Micro-Climate Alteration 5.Vegetative Buffering 6.Wildlife Habitat 7.Natural Area Protection 8.Aesthetic Improvement 三大结构 -Plant 、 Mulch 、 Soil media 植物滞留系统 降雨初期 1h 的下凹式绿地进出水浓度关系 y = 0.6135x - 0.1114 R2 = 0.7719 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 N H 4 - N 出 水 浓 度 NH4-N 进水浓度 下面图形中 X-Y 具有相关关系 6 (1) 相关分析和回归分析之间的联系： ? 理论和方法具有一致性； ? 无相关就无回归，相关程度越高，回归越好； ? 相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。 (2) 相关分析和回归分析之间的区别： ? 相关分析中 x 与 y 对等，回归分析中 x 与 y 要确定自变量和 因变量； ? 相关分析中 x 、 y 均为随机变量， 回归分析中只有 y 为随 机变量； ? 相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进 行预测和控制。 相关分析和回归分析之间既有联系又有区别： ? 自变量 x 只有一个； ? 因变量 Y 与自变量 x 之间具有线性关系； ? x 是非随机的， Y 是随机的； ? 误差项， ， 即 的分布与 x 无 关； ? 不同的 x 对应的误差项 是相互独立的。 7 ? ～ ) , 0 ( 2 ? N ? ? (2) 一元线性回归模型假设条件 8 9 假定 ( ) E ? =0 ，有样本一元线性回归方程： ? y a bx ? ? (2.1) 回归截距 a 表示在没有自变量 x 的影响时，其它各种因 素对因变量 y 的平均影响； 回归系数 b 表明自变量 x 每变动 一个单位，因变量 y 平均变动 b 个单位。 b 的符号反映了 x 影响 y 的性质， b 的绝对值大 小反映了 x 影响 y 的程度。 叫做 回归估计值 ，是当 x 在在其研究 范 围 内 取某一个值时， y 值平均数的估计值。 y ? (3) 一元线性回归方程 10 ? y a bx ? ? 是理论模型， 表明 x 与 y 变量之间的平均变 动关系，而变量 y 的实际值应为： i ? ( ) i i i i y a bx y ? ? ? ? ? ? ? 其中， a 、 b 的确定如下： 为获得 a 、 b 的估计，需对自变量及与其对应的因变量 进 行 n 次 独 立 观 测 。 假 设 实 测 数 据 为 ： ? ? i i y x , n i ? 2 , 1 ? ， n n y y y y x x x x ... , , , ... , , , 3 2 1 3 2 1 (2.2) (4) 回归系数最小二乘法估计 11 要选择 b a , ，使得 i x 直线上对应的值 i i bx a y ? ? ? 与 i x 对 应的实测值 i y 的误差 i ? 在某种意义下最小。 n i y y i i i ,..., 2 , 1 , ? ? ? ? ? 显然 i ? 越小方程对数