一阶可分离变量高等数学微积分课件.pptVIP

6.2.1 可分离变量的微分方程 6.2 典型的一阶微分方程 . 转化 解分离变量方程 x x f y y g d ) ( d ) ( ? 一、可分离变量方程 ) ( ) ( d d 2 1 y f x f x y ? 0 ) ( d ) ( 1 1 ? ? x N x x M y y N y M d ) ( ) ( 2 2 dx x f dy y g ) ( ) ( ? 可分离变量的微分方程 . 5 4 2 2 y x dx dy ? 例如 , 2 2 5 4 dx x dy y ? ? ? 解法 设函数 ) ( y g 和 ) ( x f 是连续的 , ? ? ? dx x f dy y g ) ( ) ( 设函数 ) ( y G 和 ) ( x F 是依次为 ) ( y g 和 ) ( x f 的原函 数 , C x F y G ? ? ) ( ) ( 为微分方程的解 . 分离变量法 二、典型例题 例 1. 求微分方程 的通解 . 解 : 分离变量得 x x y y d 3 d 2 ? 两边积分 得 1 3 ln C x y ? ? C x y ln ln 3 ? ? 即 1 C e C ? ? 令 ( C 为任意常数 ) 或 说明 : 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形 , 因此可能增、 减解 . ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 例 2. 解初值问题 0 d ) 1 ( d 2 ? ? ? y x x y x 解 : 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 ? ? ? 两边积分得 即 C x y ? ? 1 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 ? ? x y ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 1 ) 0 ( ? y 例 3. 求下述微分方程的通解 : 解 : 令 , 1 ? ? ? y x u 则 故有 u u 2 sin 1 ? ? ? 即 C x u ? ? tan 解得 C x y x ? ? ? ? ) 1 tan( ( C 为任意常数 ) 所求通解 : . 0 ) ( ) ( 4 通解 求方程 例 ? ? xdy xy g ydx xy f , xy u ? 令 , ydx xdy du ? ? 则 , 0 ) ( ) ( ? ? ? ? x ydx du x u g ydx u f , 0 ) ( )] ( ) ( [ ? ? ? du u g dx x u u g u f , 0 )] ( ) ( [ ) ( ? ? ? du u g u f u u g x dx . )] ( ) ( [ ) ( | | ln C du u g u f u u g x ? ? ? ? 通解为 解 例 5 设一物体的温度为 100 , C 将其放置在空气温 度为 20 C 的环境中冷却 . 变化规律 . 解 t 的 试求物体温度随时间 设物体的温度 与时间 的函数关系为 T t ( ), T T t ? 下面来求上述初值问题 其中 为比例常数 . ) 0 ( ? k k 的解 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 | ) 20 ( 0 t T T k dt dT ) 1 ( ) 2 ( 根据冷却定律 : 温度的变化率 物体 与物体和当时空气温度之差成正比 , 建立该问题的数学模型 : ; 20 kdt T dT ? ? ? 再将条件 ( 2) 代入 , 于是 , 两边积分 得 ( 其中 1 C 为任意常数 ) , 即 ( 其中 1 ) C C e ? ? , 20 1 ? ? ? ? ? kdt dT T 1 | 20 | ln C kt T ? ? ? ? kt kt C C kt Ce e e e T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 20 从而 , 20 kt Ce T ? ? ? , 80 20 100 ? ? ? C . 80 20 kt e T ? ? ? 得 所求规律为 分离变量 , 得 注： 物 体冷却的数学模型在多个领域有着广泛的应 度推断这个人死亡时间 , 算解决 . 用 . 例如 , 法医要根据尸体当时的温 警方破案时 ,