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对数平均数不等式链的几何证明及变式探究 中学数学教育专家安振平在剖析 2013 年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： a b b a 2 a b 设 b a 0 ，则 b ab a ，其中 被称为“对数 2 ln b ln a 1 1 ln a ln b a b 平均数” . 安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大 . 基于此，笔者进 行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解 . 1 对数平均数不等式链的几何证明 1 如图，先画反比例函数 f x x 0 的图象，再画其他的辅助线，其中 AP BC TU KV ， x 1 1 1 MN CD x 轴 ， A a ,0 , P a, , B b,0 , Q b, , T ab, . 设 函 数 f x 在 点 a b ab a b 2 K , 处的切线分别与直线 AP , BQ 交于点 E , F ，则根据左图可知： 2 a b 因为 S S S ， 曲边梯形 ABQP 梯形 ABFE 矩形 ABNM b 1 2 所以 dx ln b ln a b a . ① a x a b ab 1 1 1 因为 S dx ln ab ln a ln b ln a S ， 曲边梯形 AUTP 曲边梯形 ABQP a x 2 2 1 1 1 1 b a 1 S ab a S ， 梯形 AUTP 梯形 ABCD 2 a ab 2 ab 2 1 b a 而根据右图可知： S S
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