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PAGE PAGE #/ 6 七年级数学下册解法技巧思维培优 专题 平行线中的拐角问题 题型一 过拐点作一条平行线 【典例 1】 （ 2019?自贡期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我 们解决许多问题． （1）小明遇到了下面的问题：如图 1，l1∥l2，点 P 在 l1，l2 内部，探究∠ A，∠ APB ，∠ B 的关系小明 过点 P 作 l1的平行线，可证∠ APB，∠A，∠B 之间的数量关系是：∠ APB＝ ； （2）如图 2，若 AC∥BD，点 P 在 AC，BD 外部，∠ A，∠ B，∠ APB 的数量关系是否发生变化？请写出 证明过程； （3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途． 试构造平行线解决以下问题： 已知：如图 3，三角形 ABC，求证：∠ A+∠ B+∠C＝ 180°． 典例 2】（2019?无为期末）如图， AB∥CD∥EF，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠ BEC 的度数． 典例 3】（2019?孟津期末）如图（ 1），AB∥CD，试求∠ BPD 与∠ B、∠ D 的数量关系，说明理由． （1）填空： 解：过点 P 作 EF∥ AB， ∴∠ B+∠ BPE＝180° ∵AB∥ CD，EF∥AB ∴ （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∠EPD+ ＝ 180° ∴∠ B+∠ BPE+∠EPD+∠D＝360° ∴∠ B+∠ BPD+∠ D＝ 360° （2）依照上面的解题方法，观察图（ 2），已知 AB∥CD，猜想图中的∠ BPD 与∠ B、∠ D 的数量关系， 并说明理由． （3）观察图（ 3）和（ 4），已知 AB∥CD，直接写出图中的∠ BPD 与∠B、∠D 的数量关系，不用说明理 由． 典例 4】（2019?浦东新区期中）（1）如图 α示， AB∥ CD ，且点 E 在射线 AB 与 CD 之间，请说明∠ AEC ＝∠A+∠C 的理由． 2）现在如图 b 示，仍有AB∥CD， 2）现在如图 b 示，仍有 AB∥CD， 但点 E 在 AB与 CD 的上方， ① 请尝试探索∠ 1，∠2，∠E 三者的 数量关系． ② 请说明理由． 典例 5】 （ 2019?滕州市期中）如图，AB∥ CD ，若∠ ABE＝120°，∠ 典例 5】 （ 2019?滕州市期中）如图， AB∥ CD ，若∠ ABE＝120°，∠ DCE ＝35°， 求∠ BEC 的度数． 例６图 例７图 典例 6】（2019?孝南区校级月考） 如图， AB∥CD ，若∠ ABE＝ 120°，∠DCE＝35° ，求∠ BEC 的度数． 典例 7】（2019?浦东新区期中） （1）如图（ a），如果∠ B+∠E+∠ D＝ 360°，那么 AB、 CD 有怎样的关 系？为什么？ 解：过点 E 作 EF∥ AB① ，如图（ b）， TOC \o 1-5 \h \z 则∠ ABE+∠BEF＝180°，（ ） 因为∠ ABE+∠BED+∠EDC＝ 360°（ ） 所以∠ FED +∠EDC ＝ ° （等式的性质） 所以 FE∥CD② （ ） 由 ① 、② 得 AB∥ CD （ ）． 2）如图（ c），当∠ 1、∠ 2、∠ 3满足条件 时，有 AB∥CD． 时，有 AB 时，有 AB∥ CD． 题型二 过拐点作多条平行线 【典例 8】（2019?北辰区校级月考）已知：如图， AB∥ CD，试解决下列问题： （ 1）∠ 1+∠ 2＝ ； （2）∠ 1+∠ 2+∠ 3＝ ； （3）∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠4＝_ ； （4）试探究∠ 1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝ 典例 9】（2019?召陵区期中）问题感知：如图（一） ，已知 AB ∥CD ，点 E是 AB与 CD 间的一点，过点 E 作 EM ∥ AB．易得∠ B+∠D＝∠ BED． 知识应用：如图（二） ，当点 E在 AB与 CD 之外时，其它条件不变，猜想∠ B、∠D与∠ E之间的关系， 并说明理由． 应用提升：在图（三） 、图（四）中， AB∥CD，直接写出∠ B、∠D、∠E、∠F 之间的数量关系． 典例 10 典例 10 】（ 2019?东莞校级月考） 如图，已知 AB∥ CD ，∠ ABE和∠ CDE 的平分线相交于 F，∠E＝140° 1）直接写出：∠ ABE+∠CDE ＝ 2）求∠ BFD 的度数． 典例 11 】 （ 2019?莱城区期末） （1）如图 ① ，MA1∥NA2，则∠ A1+∠A2＝ 如图② ， MA1∥ NA3，则∠ A1+∠A2+∠A3＝ ，请你说明理由； （2）如图 ③ ，MA1∥NA4，则∠ A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ ； （3）利用上述结论解决问题：如图 ④ ，AB∥