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§1 第一章 基础知识 判断题： 1.1 设 A与 B都是非空集合，那么 A B xx A且x B 。（ ） A× B = B ×A （ ） 只要 f 是 A到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1 。（ ） 如果 是 A到 A 的一一映射 , 则 [ （a）]=a 。（ ） 集合 A 到 B的可逆映射一 定是 A到 B 的双射。（ ） 设 A、 B 、 D都是非空集合，则 A B到 D的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 在整数集 Z上，定义“ ”：a b=ab（a,b ∈ Z） ，则“ ”是 Z的一个二元运算。 （ ） 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。 （ ） 填空题： TOC \o 1-5 \h \z 若 A={0,1} , 则 A A= 。 设 A = {1 ， 2} ， B = {a ，b}，则 A×B = 。 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A B= 。 设 A={1,2}, 则 A A= 。 2.5 设集合 A 1,0,1 ； B 1,2 ，则有 B A 。 2.6 如果 f 是 A与 A 间的一一映射， a 是 A的一个元，则 f 1 f a 。 2.7 设 A = {a1, a2, ?a8}，则 A 上不同的二元运算共有 个。 设 A、 B是集合， | A | ＝ | B | ＝3，则共可定义 个从 A到 B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。 设 A 是 n 元集， B是 m元集，那么 A 到 B的映射共有 个. 设 A={a,b,c} ，则 A到 A 的一一映射共有 个. 设 A={a,b,c,d,e} ，则 A 的一一变换共有 个. 集 合 A 的 元 间 的 关 系 ～ 叫 做 等 价 关 系 ， 如 果 ～ 适 合 下 列 三 个 条 件 ： 。 设 A = { a, b, c }，那么 A的所有不同的等价关系的个数为 。 设～是集合 A的元间的一个等价关系，它决定 A的一个分类： a, b 是两个等价 类。则 a b 。 设集合 A有一个分类，其中 Ai与 Aj 是 A的两个类 ，如果 Ai Aj，那么 Ai Aj 。 。 设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }，规定 A的等价关系～如下： a ～ b 2|a-b ，那么 TOC \o 1-5 \h \z A 的所有不同的等价类是 。 设 M是实数域 R 上的全体对称矩阵的集合，～是 M上的合同关系，则由～给出 M 的所有不同的等价类的个数是 。 在数域 F上的所有 n阶方阵的集合 Mn (F)中，规定等价关系 ~:A~B 秩(A)= 秩 ，则这个等价关系决定的等价类有 个。 设 M100 (F) 是数域 F上的所有 100阶方阵的集合 ,在 M100 (F)中规定等价关系 ~如下： A~B 秩(A)=秩(B) ，则这个等价关系所决定的等价类共有 个。 若 M={有理数域上的所有 3 级方阵 },A,B M,定义 A~B 秩(A)=秩(B), 则由” ~” 确定的等价类有 个。 证明题： 3.1 设是集 合 3.1 设 是集 合 A 到 B 的一个映射 ，对于 a,b A，规定关系“~ a~b a~b (a) (b) ．证明：“~”是 A的一个等价关系． 在复数集 C中规定关系“ ~”：a~b |a| | b | ．证明：“ ~”是C的一个等价关系． 在 n 阶矩阵的集合 M n(F )中规定关系“ ~”：A~B |A| | B | ．证明：“ ~”是 Mn(F) 的一个等价关系． 设“ ~”是集合 A 的一个关系，且满足： (1)对任意 a A，有 a~ a ；( 2)对任 意a,b,c A，若a~b,a~ c,就有b ~ c．证明：“~”是 A的一个等价关系． 1 设G是一个群，在G中规定关系“~”：a ~ b 存在于 g G，使得b g ag ．证 明：“ ~”是 G的一个等价关系． 第二章 群论 判断题： § 2.1 群的定义 . 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条： (A) G 对于这个乘法运算都是封闭的； (B) a,b,cG ，都有 (ab)c=a(bc) 成立； 存在 G，使得 aG，都有 ea=a 成立； aG，都存在 aG，使得 aa=e 成立。 则 G 关于这个乘法运算构成一个群。 （ ） 设非空集合 G关于一个乘法运算满足以下四条： A）G对于这个乘法运算是封闭的； B） a,b,c G，都有（ ab） c=a（bc） 成立； C）存在 er G，使得 a G，都有 aer =a 成立； 11 D） a G，都存在 a G，使得 a a=e r 成立。 则 G 关于这个乘法运算构成