牛吃草公式及倍数知识.docVIP

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典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是: 设定一头牛一天吃草量为“1” 公式1.草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数); 公式2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;` 公式3.吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度); 公式4.牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。 由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是: 1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。 解多块草地的方法 多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。 任意两个奇数的平方差是8的倍数 证明:设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N) (2m+1)^2-(2n+1)^2 =(2m+1+2n+1)*(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n) 当m,n都是奇数或都是偶数时,m-n是偶数,被2整除 当m,n一奇一偶时,m+n+1是偶数,被2整除 所以(m+n+1)(m-n)是2的倍数 则4(m+n+1)(m-n)一定是8的倍数 2的倍数尾数是偶数 3的倍数数字和为3倍数 4的倍数末两位是4的倍数 5的倍数尾数是0或者5 3 ,2的倍数满足6. 7的倍数若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除 8的倍数末三位是8的倍数 9的倍数数字和等于9 11的倍数奇数位数字和与偶数位数字和的差为11倍数 (1)1与0的特性: 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. (2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。 (3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。 (5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。 (6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。 (7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截的倍数的7是否133尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断 过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。 (8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。 (9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。 (10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。 (11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1! (12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。 (13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相

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