空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1].pdfVIP

. 空间向量在立体几何中的应用： (1) 直线的方向向量与平面的法向量： ①如图， l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ，使得 OP OA ta ，其中向量 a 叫做直线的 方向向量 ． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线 l ⊥平面 ，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量 ． 由此可知，给定一点 A 及一个向量 a ，那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定． (2) 用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线 l ，m 的方向向量分别是 a ，b ，平面 ， 的法向量分别是 u ，v ，则 l m a b a k b k ① ∥ ∥ ＝ ， ∈R； ② l ⊥m a ⊥ b a b·＝0 ； ③ l ∥ a ⊥u a u·＝0 ； ④ l ⊥ a ∥u a ＝k u ，k ∈R ； ⑤ ∥ u ∥v u ＝kv ，k ∈R； ⑥ ⊥ u ⊥v u v·＝0 ． (3) 用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设 a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点 O 作直线 a ′∥a ，b ′∥b ，则 a ′与b ′ 所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角． 可编辑 . π 设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是 v 1 ，v 2 ，a 与 b 的夹角为 ，显然 (0, ], 则 2 |v1 v2 | | cos v ,v | 1 2 | v1 ||v2 | ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线 a 的方向向量是 u ，平面 的法向量是 v ，直线 a 与平面 的夹角为 ，显然 π | u v | [0, ] ，则 | cos u ,v | 2 | u ||v | ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作 －l－ 在二面角的棱上任取一点 O ，在两个半平面内分别作射线 OA ⊥l，OB ⊥l，则∠AOB 叫做二面角 －l