八年级数学上册 第二章 图形的轴对称 2.5 角平分线的性质课件 青岛版.pptVIP

* 2.5 角平分线的性质 八年级上册 （一）知识回顾 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. o B C A 1 2 符号语言： ∵射线OC是∠AOB的角平分线(已知) ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离. O P A B 垂线段PO的长度 在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ C B A D 活动一： 结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线 是它的对称轴. 探究角的轴对称性 （二）探究新知 请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由. 结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 探索角平分线的第一个性质 活动二： C B M A P N D 已知：AD是∠BAC的角平分线 点P是AD上任意一点，PM⊥AB PN⊥AC 求证：PM=PN C B M A P N D 1 2 证明：∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2 ∵PM⊥AB PN⊥AC ∴ ∠ AMP=∠ANP=90o 在△AMP与△ANP中 ∵ ∠1= ∠2 ∠ AMP=∠ANP AP=AP ∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN 角平分线的性质1 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. C B M A P N D 应用所具备的条件： （1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； （3）PM⊥AB PN⊥AC 作用： 判断线段相等的依据. 符号语言： ∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC（已知） ∴PM=PN（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。） 判断正误，并说明理由： 1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分 别在OA、OB上，则PD=PE ( ) 2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PE=PF.( ) 3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( ) 测试一: （1题） （2题） （3题） × √ × 反过来，角的内部到角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ B 结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 自学探究三： 角平分线的性质2 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）点P在∠BAC的内部； （2）PM⊥AB PN⊥AC； （3）PM=PN 作用： 判断点是否在角平分线上的依据. 符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN（已知） ∴点P在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.） ∴∠1=∠2（角的平分线的定义） C B M A P N D 1 2 如图，P 是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE = PF . Q是 OP 上的任意一点， QM⊥OA， QN⊥OB，垂足分别为点 M 和 N . QM与QN 相等吗？为什么？ 测试二. 测试二: 解：相等 证明：∵ PE⊥OA,PF⊥OB, PE=PF ∴ OP为∠AOB的平分线,（角平分线的性质2） ∵ QM⊥OA,QN⊥OB ∴ QM=QN（角平分线的性质1) 作法: １.以A为圆心,适当长为半径作弧,分别交这个角的两边于E,F两点; ３.作射线AP 已知：∠BAC 求作：∠BAC 的平分线. 射线AP就是所求作的∠BAC的平分线 活动四: 用尺规作角的平分线 ２.分别以E,F为圆心,大于EF一半的长为半径 作弧,两弧交于点P; A B C 用直尺和圆规作一个角的平分线，如上图所示，则能说明∠BAP=∠CAP的依据（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角的两边相等 思考: A 达标测试 1.∠AOB的平分线上一