八年级数学上册 第五章 几何证明初步 5.6.4 几何证明举例课件 青岛版.pptVIP

* 5.6.4 几何证明举例 八年级上册 回顾与思考 1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？ 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 你能说明其中的道理吗？ A M O B N C 角平分线的性质定理 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式： OP 是 的平分线 \ PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。） ∵ 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 A O B D P E 交流与发现 你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性? 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， PD=PE。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中, ∠ODP=∠OEP=90° OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 定理 2 定理 2的应用书写格式： OP 是 的平分线 PD= PE \ （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵ 用途：判定一条射线是角平分线 典型例题 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？ 例:已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线。 求证：AM，BN，CP交于一点。 要证明三角形的三条角平分线交 与一点，只要证明两条角平分线 的交点也在第三条角评分线上就 可以了。 证明：设AM、BN交于点O。过点O作OF 、OD、OE分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵AM是∠BAC的角平分线，点O在AM上（已知） ∴OF=OE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 OF=OD. ∴ OD=DE(等量代换） ∵CP是∠ACB的角平分线 ∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D E F A B C P M N 结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。 这个交点叫三角形的内心 O 小试身手 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。 求证：MD＝ME。 再试身手 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线. 课堂小结 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。 作用:证明两个角相等或线是角平分线 3.符号语言： 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN 角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线) 祝同学们学习进步！