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分析： N(t)=N0e-λ(t-t0), N(t0)=N0. 则 t –t0= ln[N0/N(t)]/λ. 如果生物体在 t = t0埋葬时死亡, 则有 N0=N*。 如果在 t = t1 时被发掘出土， 可以得到埋葬时间 t1-t0 = ln [N*/N(t1)] / λ 例1.马王堆古尸年代的估计。 假设： 1.马王堆墓葬的年代生物体中14C的平衡数量与现代生物体中14C的平衡数量相同； 2. 14C的放射速率x正比与14C的含量; 3. 出土的木炭是在墓葬的当时(t = t0 时)被砍伐烧成的, 之前其中的14C处于平衡状态。 当 t ≥t0 时木炭内的14C将按模型 N’= - λN，N(0)=N* 衰减, 如果墓葬在t = t1 时出土, 用当时新砍伐烧成的木炭中的14C的(平衡)含量估计墓葬的当时木炭内14C的平衡量。 在出土墓葬时同时还测量了墓葬中的木炭样本中放射14C 的放射性衰变物的速率为29.78次/分. 当时还新砍伐了木材而且烧成木炭，并且测量了其中放射14C 衰变物的速率为 38.37次/分. 将观测值代入可以算出 t1＝ln(38.37／29.78)×5730／0.6931 ＝ 2095 结论表明墓葬是在两千多年入土的，大约是在公元前120年左右西汉中期. 其他出土的资料也证明了这个计算结果的正确性 2.地质年代的测定 地球的年龄 有多大？ 为简单起见，只考虑到放射性元素直接衰变为稳定的生成物且总量没有改变的情况。 令 N(t)和D(t) 分别表示t时刻放射性元素及其稳定生成物的数量，N0 和 D0 分别为它们的初始量. 则有 N(t)+D(t)= N0+D0. 注意到（2）可以写为 N0 = N(t) eλt 这个式子还可以写为 D(t)= D0 + (eλt -1) N(t) （4） D(t)= D0 + (eλt -1) N(t) （4） 考虑到初始的N0 的变化，我们用 N(t, N0) 和 D(t, D0) 分别表示在初始为 N0 的情形下 N，D随时间的变化，式（4）可以写为 D(t， N0 )= D0 + (eλt -1) N(t， N0 ) 这个式子表明在同一个时刻 t，由初始状态 {N0，D0} 随着N0的变化所生成的点 { N(t,N0), D(t,D0) } 在(N,D) 坐标系下在过点(0,D)的同一条直线上，如图4-4所示，它就是用以估算岩石年龄的等时线（Isochron Diagram）模型. 模型的实现：岩石年龄的铷87Rb―锶87Sr计年法. 岩石内不稳定的同位素 铷87Rb 因放射性而衰减为稳定的锶87Sr . 铷87Rb 的半衰期很长，为48.6×109 年。同一块岩石内不同的矿物质中铷87Rb 的初始含量可能不同，岩石中初始时刻锶87Sr 的含量相同，使用质谱仪可以测量铷87Rb 和锶87Sr 的相对含量Rb= 87Rb/ 86Sr 和Sr= 87 Sr / 86Sr 由等时线模型（4）可知，对于任意给定的时刻 t，都有 D(t)= mN(t) + r0 如果我们同时在岩石所含的n种不同的矿石中观测到铷和锶的含量(Ni，Di)，I =1,2,3，…，n，则利用最小二乘法就可以给出等时线的两个参数 m 和 r0 的估计.从而由 m=eλt-1 得到岩石生成的时间： 例 1967年采集到一块包含有长石、白云母和黑云母的岩石. 用质谱仪进行分析，测的铷和锶的相对含量如下： 可以估算 m=0.01，从而有 t=1.4427× ㏑1.01 ×48.6 ×109 =6.97×108 ? 长石 白云母 黑云母 Sr 0.77 0.82 0.80 Rb 2.00 7.00 5.00 北美五大湖，数字是排尽湖水所需要的年数 * 北美五大湖，数字是排尽湖水所需要的年数 * 对于密执安湖，有 T1/2=21年。 对于苏比利尔湖，有T1/2=131年。 V=0 * 模型4 消去dt SIR模型 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 S(t)单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P1: S0ρ? I(t)先升后降至0 P2: S0ρ ? I(t)单调降至0 ρ~阈值 P3 P4 P2 S0 模型4 SIR模型 预防传染病蔓