第13讲-二次函数存在性问题--尖子班.docxVIP

PAGE PAGE 16 第14讲 二次函数存在性问题 知识点1二次函数中直角三角形存在性问题 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 【典例】 1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； （2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标； （3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标． 【方法总结】 探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论； （2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； ②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； （3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。 【随堂练习】 1. （2018?怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题 此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论． 【典例】 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式； （2）直接用含t的代数式表示线段MN的长； （3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值； 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小； （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值． 【方法总结】 探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。 以上方法即可找出所有符合条件的点； （3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。 【随堂练习】 1.（2018?巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2