动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题.pdfVIP

“胡不归” “阿氏圆”及旋转相似 一、胡不归型 【背景知识】   有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便 日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人 们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不归？”     早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下 图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。 为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。 但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选 择一条合适的路线 （尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵 达家门的。     那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走 的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可 望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是： 若在驿道上行走的速度为 ，在沙地上行走的速度为 ，即求 的最 小值. A D P B C 例题 1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP ＋CP的最小值为_______ 解析：∵正方形ABCD为轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP+BP+CP=2AP+BP= ∴即求 的最小值 接下去就是套路 我们要构造一个 出来 连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F 在Rt△PBF中， ∵∠PBF=30° ∴ 由此我们把 构造出来了 ∴ 的最小值即为AF线段的长 ∵∠BAE=45°，∠AEB=60° ∴解直角△ABE，得AO=BO= ，OE= ，OB= 根据面积法， · = · 求出AF= （此外本题费马点亦可） 例题2 图1 图2 总结步骤：第一步：将所求线段和改写为 的形式 （ ＜1） 第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度 ，使得sin= 第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值 第四步：计算即可 模型具体归纳如下： 练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千 米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消 防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草 地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 ______小时可到 达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.) 练习2 练习4 如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2 ），C（1，0），D为射 线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运 动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______ 练习5 如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段 AP+BP+PD的最小值为 ． 练习6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）， B（0，﹣ ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则 PB+PD的最小值为