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高中数学对钩函数的有关知识 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x （a0,b0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、 “勾函数”、对 号函数、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为 “耐 克函数”或 “耐克曲线”。 定义 所谓的对勾函数（双曲函数），是形如 （a0)的函数。 名称 由图像得名，又被称为“双勾函数”、 “勾函数”、对号函数、 “双飞 燕函数”等。因函数图像相似耐克商标，也被形象称为 “耐克函数”或 “耐克 曲线”。 图像 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出 渐近线。 在第一区间时，其转折点为 最值：当x0 时， 有最小值（这里为了研究方便，规定a0， b0），也就是当 时，f(x)取最小值。 奇偶性、单调性 奇偶性：双勾函数是奇函数。 单调性：令k= 那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x0}和{x|0x≤k} 变化趋势：在y 轴左边先增后减，在y 轴右边先减后增，是两个勾。 渐近线 对勾函数的图像是分别以y 轴和y=ax 为渐近线的两支曲线，且图像上任意 一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘 积。 注：对勾函数的图像是双曲线。实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线 的标准方程通过旋转角度得到。 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据 二次函数得来的。我们都知道： 展开，得： 即： 两边同时加上2ab，整理得： 两边开平方，就得到了均值定理的公式： 将 中 看做a， 看做b，代入上式，得： 这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应 的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样： （a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的 式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的 则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算， 这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x 为分母 的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样， 求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f(x)=0，计算得到b=ax^2，结果仍然是 x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均 值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x， 就不能用均值定理了。[1] 上述研究都是建立在x0 的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究 出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图 像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个 能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。 事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说， 对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变换也是可以得到的。 另外对于二次曲线，它只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物 线，或者是两条直线。 由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。[1] 面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它 的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者 首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题 者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值 问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论； 继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否 与均值有关系。 对勾函数的一般形式是： f(x)=ax+b/x(a0) 不过在高中文科数学中a 多半仅为1，b 值不定。理科 数学变化更为复杂。 定义域为（-