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高等数学典型例题与解法 (一)
第12讲 用函数极限定义证题
理学院 周敏教授
主要内容
内容提要
典型例题解析
1. 自变量变化过程为无穷的情形
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 , 恒有 | ( ) − | .
当 | | 时,
→
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 , 恒有 | ( ) − | .
当 时,
→
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 , 恒有 | ( ) − | .
当 − 时,
→
●
x x
x
2. 自变量变化过程为有限的情形
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 ,
当0 | − | 时,
恒有 | ( ) − | .
→
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 , 恒有 | ( ) − | .
当0 − 时,
→
lim ( ) = 是指 :
∀ 0, ∃ 0 , 恒有 | ( ) − | .
当− − 0时,
→
x x0 x x0
● ●
x x
0
−4
例12.1 试用函数极限定义证明lim = −4.
→ 2
−4
【分析】根据函数极限定义, 尽管函数 ( ) = 在 = −2处没有
2
定义, 仍可以考虑它在该点的极限.
对于任意给定的正数 ,
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