2012高考数学 专题练习 七 空间向量与立体几何 理 .docVIP

PAGE 高考专题训练七　空间向量与立体几何 班级_______　姓名________　时间：45分钟　分值：75分　总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈eq \o(CM,\s\up10(→))，eq \o(D1N,\s\up10(→))〉的值为(　　) A.eq \f(1,9)　　　　　　　　　 B.eq \f(4,9)eq \r(5) C.eq \f(2,9)eq \r(5) D.eq \f(2,3) 解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，D1(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴eq \o(CM,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，eq \o(D1N,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－\f(1,2)))，∴cos〈eq \o(CM,\s\up10(→))，eq \o(D1N,\s\up10(→))〉＝eq \f(－\f(1,4),\f(3,2)×\f(3,2))＝－eq \f(1,9)， ∴sin〈eq \o(CM,\s\up10(→))，eq \o(D1N,\s\up10(→))〉＝eq \f(4\r(5),9).故选B. 答案：B 2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(6),3) D．1 解析：由eq \o(AB,\s\up10(→))2＝(eq \o(AC,\s\up10(→))＋eq \o(CD,\s\up10(→))＋eq \o(DB,\s\up10(→)))2 ＝eq \o(AC,\s\up10(→))2＋eq \o(CD,\s\up10(→))2＋eq \o(DB,\s\up10(→))2＋2eq \o(AC,\s\up10(→))·eq \o(CD,\s\up10(→))＋2eq \o(AC,\s\up10(→))·eq \o(DB,\s\up10(→))＋2eq \o(CD,\s\up10(→))·eq \o(DB,\s\up10(→)) ＝1＋|eq \o(CD,\s\up10(→))|2＋1，所以|CD|＝eq \r(2). 过D作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，DE即为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2＝3，∴BC＝eq \r(3).DE·BC＝BD·CD，∴DE＝eq \f(\r(6),3). 答案：C 3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5) 解析：以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))， Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))， ∴eq \o(AP,\s\up10(→))＝(0,0,2)，eq \o(DE,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，eq \o(DF,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))，设面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up10(→))＝0，,n·\o(DF,\s\up10(→))＝