2012高一数学 1.3.2 奇偶性(1)课件 新人教A版必修1.pptVIP

新 知 视 界 1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数的图象关于原点中心对称． 自 我 检 测 1．函数f(x)＝|x|是(　　) A．奇函数　　　　　　　　B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：函数定义域为R， 且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 答案：B 2．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 答案：A 4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________. 解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数， ∴区间[3－a,5]关于原点对称， ∴3－a＝－5，a＝8. 答案：8 典 例 导 悟 类型一　　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性： [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)的解析式均已知； ②判断奇偶性问题． 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性． [解]　(1)函数定义域为R. f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)函数的定义域为{x|x≠－1}． 不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)①当x0时，－x0. f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－f(x)； ②当x0时，－x0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)， 综上可知f(x)为奇函数． [点评]　判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 另外，还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域) (4)当x0时， －x0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)， 另一方面， 当x0时， －x0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)， 而f(0)＝0， ∴f(x)是奇函数． 类型二　　奇函数、偶函数图象的对称性 [例2]　奇函数y＝f(x)的局部图象如图1所示，试比较f(2)与f(4)的大小． [解]　因为奇函数的图象关于原点对称， 所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，而由函数图象可知f(－2)f(－4)，即－f(－2)－f(－4)，所以f(2)f(4)． [点评]　给出奇函数(或偶函数)的图象的一部分，根据奇函数(或偶函数)图象的对称性可以作出图象的另外一部分．如本题，因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，可以作出y轴右侧的图象，从而比较f(2)与f(4)的大小． 变式体验2　如图2，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值． 图2　　 图3 解：奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))．如图3为补充后的图象，易知f(3)＝－2. 类型三　　根据奇偶性求函数解析式 [例3]　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式． [分析]　由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数． 思 悟 升 华 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： 1．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． 2．图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若