数学建模_降落伞的选择.docVIP

. . word版本 降落伞的选择 摘要 本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合 投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。 首先，我们要确定阻力系数。通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通 过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s. 其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选 购。 最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放 地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。 关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合 问题重述 为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3米，载重300千克的降落伞从500米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。 为了确保救灾物资顺利的到达地面，我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素，因此我们对已知数据进行拟合，得到风速，偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数，在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下，选择最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。 问题的提出 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为 l的16根绳索连接着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图所示。 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。 降落伞在降落过程中受到空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。 确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，是费用最低。 半径r/m 2 2.5 3 3.5 4 费用/元 65 170 350 660 1000 表格 SEQ 表格 \* ARABIC 1 不同半径的降落伞伞面价格 t/s 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x/m 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 表格 SEQ 表格 \* ARABIC 2降落伞试验的时刻t与高度x的观测值 问题的分析 这是一个有约束的优化问题，目标函数是降落伞的总费用，为了实用上的方便，不妨只选一种规格（伞半径）的降落伞，于是总费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积，而你决策变量是降落伞数量（记作n）和每个伞的半径r。虽然r和n都只能取有限个离散值，但是，对n和r的各种组合进行枚举计算，逐个验算是否满足约束条件，比较费用，是相当繁琐的，并且缺乏一般性。我们宁可先将n和r看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求做适当调整。 约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s，为表述这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程，而方程中的重要参数——空气阻力系数——又要通过测量数据（表格2）作拟合得到。显然，由于测量数据是时间