微分方程(一阶)(11).pptVIP

当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律(物体的温度的变化率与该物体与周围介质温度之差成正比)开始变凉。假设两小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变。(1)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t(以小时为单位)的函数随时间变化的；(2)画出温度—时间曲线；(3)最终尸体的温度如何?用图像和代数两种方式表示这种结果；(4)如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的? 微分方程 引例1 分析：要建立尸体的温度 与时间 的函数关系 已知：物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境 温度之差成正比。 得到 -------微分方程 解 由已知 -------微分方程 解方程，方程两边积分 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 一、定义 第一节 微分方程的概念 一阶 一阶 二阶 一阶 一阶 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导 数的阶数. 的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 二、微分方程的阶与解 一阶微分方程的初始条件: 二阶微分方程的初始条件: (3)初始条件:用来确定通解中任意常数取值的条件. 称为可分离变量的微分方程. 解法 若满足 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 第二节 一阶微分方程 若满足 例 求微分方程 解 分离变量 两端积分 通解为 解 分离变量 两端积分 （可以是隐式解，即用方程表示） 分离变量 两端积分 通解为 解 : 分离变量 两端积分 通解为 由： 特解为 一阶线性微分方程的标准形式: 方程称为齐次的. 方程称为非齐次的. 线性：指　　　的次数都是一次 二、一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 解线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 采用常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设 是非齐次方程的解 2. 解线性非齐次方程 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 例 原方程的通解为： 解1： 齐次通解为 常数变易法设 带入原方程求得 为非齐次的解 例 解1： 通解为 常数变易法设 带入原方程求得 原方程的通解为： 为非齐次的解 解2 例 例 解2： 一阶线性 练习：解下列微分方程 原方程的通解为： 分离变量 一阶线性 * * * * * * * * * *