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核心素养提升——科学思维系列(四) 竖直面内圆周运动的两种模型 模型1　轻绳模型 模型图示 受力特点 临界条件 轻“绳”模型 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 在最高点FN＝0，mg＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(gr) 讨论：(1)若veq \r(gr)，绳有拉力； (2)若veq \r(gr)，不能到达最高点. 如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为T，拉力T与速度v的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是(　　) A．数据a与小球的质量有关 B．数据b与圆周轨道半径有关 C．比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 【解析】　在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有T＋mg＝meq \f(v2,R)，可得图线的函数表达式为T＝meq \f(v2,R)－mg，图乙中横轴截距为a，则有0＝meq \f(a,R)－mg，得g＝eq \f(a,R)，则a＝gR；图线过点(2a，b)，则b＝meq \f(2a,R)－mg，可得b＝mg，则eq \f(b,a)＝eq \f(m,R)，A、B、C错．由b＝mg得m＝eq \f(b,g)，由a＝gR得R＝eq \f(a,g)，则D正确． 【答案】　D 模型2　轻杆模型 模型图示 受力特点 临界条件 轻“杆”模型 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 (1)当v＝0时，FN＝mg，此速度为最小值； (2)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0，此速度为支持力和拉力的临界值； (3)0veq \r(gr)时，杆对球有向上的支持力； (4)veq \r(gr)时，杆对球有向下的拉力. (多选)如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则球B在最高点时，下列说法正确的是(　　) A．球B在最高点时速度为eq \r(gL) B．此时球A的速度大小为eq \f(\r(2gL),2) C．杆对球A的作用力为0.5mg D．杆对水平轴的作用力为1.5mg [审题指导]　(1)杆和球在竖直平面内转动→两球做圆周运动． (2)杆对球B恰好无作用力→重力恰好提供向心力． 【解析】　设球B在最高点时的速度为v0，有mg＝meq \f(v\o\al(2,0),2L)，解得v0＝eq \r(2gL)，选项A错误；因为A、B两球的角速度相等，根据v＝rω知，此时球A的速度为eq \f(1,2)v0＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，选项B正确；根据牛顿第二定律得，FA－mg＝eq \f(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0,2)))2,L)，解得FA＝1.5mg，A对杆的作用力为1.5mg，水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，所以F＝1.5mg，选项C错误、D正确． 【答案】　BD 竖直面内圆周运动类问题的解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同． (2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥eq \r(gR)及杆模型中v≥0这两个临界条件． (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况． (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向． (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程． 1．(2019·黑龙江哈师大附中月考)如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击，使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中不正确的是(　C　) A．如果v0＝eq \r(gR)，则小球能够上升的最大高度等于eq \f(R,2) B．如果v0＝eq \r(3gR)，则小球能够上升的最大高度小于eq \f(3R,2) C．如果v0＝eq \r(4gR)，则小球能够上升的最大高度等于2R D．如果v0＝eq \r(5gR)，则小球能够上升的最大高度等于2R 解析：如果v0＝eq \r(gR)，根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)＝mgh，解得h＝eq \f(R,2)，当小球运动到h＝eq \f(R,2)高度时速度可以为零，则小球能够上升的最大高度为eq \f(R,2)，故A正确；如果v0＝eq