第四章-方程求根的迭代法.pptVIP

本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题： 确定根的初值; 将进一步精确化到所需要的精度。 4.1 二分法 4.1.1确定有根区间的方法 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法。 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。 (1) 画图法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式，?1(x) 与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内 (1) 画图法 例4.1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 有哪些信誉好的足球投注网站,列表如下 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法进行实根隔离的关键是选取步长h。 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子区间。 二分法可以看作是有哪些信誉好的足球投注网站法的一种改进。 4.3 迭代法 4.4 牛顿迭代法 2.4.3 牛顿迭代法的收敛性 例4.11 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,ε=10-4 解：因 f (xk)= x ex –1 , f ′(xk)=ex ( x+1) 建立迭代公式 ∵ ∴ 即 ① 得证。 即 ② 得证。 迭代法的算法框图 例4.4 对方程 ,构造收敛的迭代格式, 求其最小正根,计算过程保留4位小数。 解 容易判断[1,2]是方程的有根区间, 且在此区间 内 ,所以此方程在区间[1,2]有 且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。 ① ,即 不满足收敛条件。 ② ,即 此时迭代公式满足迭代收敛条件。 4.3.5 局部收敛性 当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。 定理4.2 设 在 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 则迭代过程 具有局部收敛性。 证: 由于 ,存在充分小邻域△: ,使成立 这里L为某个定数, 根据微分中值定理 由于 ,又当 时 ,故有 由定理4.1知 对于任意的 都收敛 例4.5 设 ,要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时, 收敛条件 所以 例4.6 已知方程 在 内有根 ,且在 上满足 ,利用