FPGA环境下基于cordic运算实现反正切运算（VHDL）.docVIP

CORDIC算法实现反正切运算算法 前言 CORDIC算法包括圆周系统、线性系统、双曲系统三种旋转系统，每种系统又分别具有旋转模式和向量模式两种运算模式。其中，运用最为广泛的时圆周系统的两种运算模式，本文也立足与项目应用，仅阐述圆周系统，其余系统可参看相关资料。 算法分析 要充分理解圆周系统，我们需先引入其旋转模式的概念，再以旋转模式引申到向量的概念中去。 CORDIC算法的旋转模式运算的实质就是执行一个平面内旋转,如图1所示,就是从一个坐标点转换到另一个坐标点的过程. 图1.平面旋转模式运算示意图 如图1中所示，原向量的坐标表达式为 (1) 其中，r为向量的长度，由于本文的目的是讨论角度的计算，所以，都假定向量旋转过程中的长度是固定不变的，这样，我们可以专注于角度的变化。 所以，目标向量的坐标表达式为 (2) 即 用向量统一表示为 (3) 公式1表示由向量到向量的旋转过程，即转过的相角为，可以通过迭代运算分多步执行角度旋转,每一步完成旋转的一部分.单步表述为: (4) 其中表示下一步迭代需要执行的运算。 根据公式2，必须确切知道每单步要旋转的角度，具体计算方法阐述如下： 为方便表示，并简化方程中的参量，方程(4)提取COS后变成 (5) 规定每一步所调整的角度为 (6) 即单次调整最大为当n=0时调整，其后每次调整值逐步减小，如此多次调整后最终调整角度值即为目标值，向量旋转完毕。即 ，其中为角度调整的方向，取值为{-1，+1}，每次的取值由上次调整完后的角度剩余量的符号决定，将仍旧需要调整的角度定义为。 (7) 于是 (8) 0表示调整过度，需要回调，所以=-1，下一步要逆时针旋转，反之，=1，继续按照逆时针调整。 综上所述，结合(5)、(6)式和(7)式以及旋转模式下旋转方向问题，(5)式在工程实现时应为 (9) 公式（9）是可以工程实现的迭代公式，试想，通过n次迭代运算后，向量由原来位置经过了n次不同角度的旋转，形成的新位置为 (10) 由上式可以看出，对于给定次数的向量旋转（n为有限次），所有的cos乘积趋近于固定值，为 (11) 于是，令 (12) 此K值与具体的迭代次数有关，对于所有的初始向量（n=0）和旋转角度而言，K时一个常数。而当迭代次数N趋向于无穷大时，K值收敛且K0.67253。通常定义K叫做聚焦常数，其倒数P1.64676，通常称作旋转增益，于是旋转向量又写为 (13) 在旋转模式下，经N次迭代运算后，已趋近于0，即=1，CORDIC公式的输出为 ， (14) 公式(14)即为工程实现中的指导公式。在此种模式下，可以根据上式很方便的计算出一个给定角度的正弦、余弦和正切值。 但在数字计算中，使用向量模式求取一个向量的角度更容易，我们此次的工程中需要求取的就是反正切的角度，这样使用向量模式非常方便。 向量模式的计算方法和旋转模式很相似，区别在于向量模式的输入只有一组坐标值，求取此向量的角度，只需要将此向量旋转，使向量的Y坐标趋近于0，即，使向量旋转到与实轴重合，所转过的角度即为此向量的角度。如图2所示 图2.向量模式下旋转求角度示意图 并且，在计算过程中，的取值需取决于调整过程中的符号，因为在向量模式下要调整的目标位置为，故可根据的正负符号判断向量转动的角度是否已经超过目标值。当迭代运算N次后，，=1，实现指导公式变为： ， (15) 注意，此时的取值与旋转模式下的区别。其原则仍是+1表示要正向（逆时针）调整，-1表示要逆向（顺时针）调整。 将Z值初始化为，经迭代运算，当运算持续到Y=0时，此时 (16) ，此即为我们需要的向量的反正