积分和微积分基本定理.doc

積分和微積分基本定理 定積分： 定積分（definite integral）就是求面積，因此毫無神秘性可言，只是數學家用了一個古怪的名詞有點嚇人而已。我們買房子的時候，第一件關心的事情不就是房子的坪數嗎？所以自從遠古的時候，人們就已經在接觸這個問題了，它隨時在我們的日常生活中出現。直到很後來人們才開始關心速度的觀念，因此在微積分中，積分是遠要比導數更古老的問題。不過，要得到準確的面積值卻也不是一件簡單的事情。一般而言，大概只有對於用直線或是用圓弧圍起來的面積才辦得到。而用複雜一點的曲線所圍的區域，就會令人束手無策了。積分的目的就是要解決這個問題。 讓我們先來看一個比較簡單的問題。考慮如圖1的區域，三邊是互相垂直的直線，而一邊則是一條曲線，假設這條曲線可以以函數x=f(t)，a≦t≦b，來表示。我們目前能做的最好的事情大概就是求一下這塊面積的近似值。把a到b間分成n段小線段： 在每一個小線段 中，任取一點；我們以函數值為高，為底作一小長方形，然後把這些小長方形的面積加起來，這是可以辦得到的。很明顯而且也很容易證明，如果每一段取得越小，則這些小長方形的面積和越接近我們所要求的面積A。即： (1) 萊布尼茲於是就介紹了一個特殊的符號： 當每一段很小時 (2) 用∫的原因是因為A是一種把每段都取很小時無限多項的變形和，所以就把和的符號Σ拉長了，而將它稱之為定積分。那麼它要如何加呢？這點我們下文再討論。目前我們只要記得這個奇怪的符號（尤其先不要管那個）只是代表面積就行了。 要強調的是，這樣的處理方式並不只在面積問題上出現，它幾乎是無所不在的。在普通物理中，『功』是一個重要且有用的觀念。考慮一個物體在一條直線上受力f的作用移動Δx距離，則我們說，力f對這物體所作的功是f×Δx。但是如果這個力隨著位置在變化時f=f(x)，那麼當這物體由a點移動到b點的時候，這個力所作的功是多少呢？答案顯然是：我們將[a，b]之間分成很多小位移： 每個小位移分割得足夠小，使得在這小位移間的力幾乎可以視為不變，然後我們求每一小段之間的功，再加起來： 它就差不多會等於我們所想要的功了。比較一下這個公式與面積公式，可說是完全一樣的。所以當每段都取得很小的時候，我們就可以利用萊布尼茲的符號寫下功的公式： 這樣的例子在普通物理之中可說是俯拾皆是的，各位應該可以舉一隅而以三隅反。由此可以看出萊布尼茲的符號是普遍適用的，它可以將許多來源不同東西連貫在一起，一舉解決很多問題。 一些例子 現在我們來看看像(1)這樣的和要怎麼加？先來看最簡單的例子。 例1：直線 這是一個小學生的題目，答案顯然是 不過我建議各位用小長方形的方法做做看，雖然很笨拙，但是可以 用來熟悉一下積分的涵義。 例2：圓 這題目也不難，因為答案是半圓的面積，是一般的常識，故 但是沒有人能夠用小長方形的方法得到這個答案。 例3：拋物線 這題目沒有現成的答案，我們只有用小長方形的方法求求看了。完全 為了方便的緣故，我們將線段[0, b]分成n等份，每段，再選取，故 例3： 要使很小，只要使n很大即可，所以項俱可忽略，故 這就是拋物線 在[0, b]之間的面積。 練習1：證明 但是不幸的是，除了這些例子之外，我們很難再用加小長方形面積的方法求任何面積了。一般而言，這幾乎是件不可能的任務。拋物線的面積基本上是紀元前250年左右由阿幾米德解決的。不過阿幾米德並不懂解析幾何這樣的高等數學，所以不像我們在例3那麼輕鬆，他算出拋物線面積的困難度是超乎我們想像的。然而在他之後將近兩千年的時間中，這個算面積的問題就一直停滯不前毫無進展，直到牛頓和萊布尼茲發現了所謂的『微積分基本定理』才峰迴路轉有了突破。正是「山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村。」 微積分基本定理 如