从圆到椭圆,一个不得不说的性质.docVIP

从圆到椭圆，一个不得不说的性质 思考：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究． 1、圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦． 类比：椭圆中，过中心平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）； 2、圆的重要性质：圆的一条直径的两端点与圆上除这两个端点外的任一点的连线的斜率之积为定值。 类比：椭圆中，过椭圆中心的一条弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任一点的连线的斜率之积是否为一定值？ 3、圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线． 类比：椭圆中，椭圆上一点与中心连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）． 命题1和2是一致的，命题3是命题1的极限状态。 结论1：椭圆长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为 ． 思考：能否对结论1作一般性推广？结论如何？ y y 结论2：椭圆上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为 拓展运用（江苏2011高考第18题） y如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k. y （1）若直线PA平分线段NM时，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离； （3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB． 你能利用我们所探究的结论来解决（3）吗？ y思考1：（4）如图，若为椭圆的右顶点，直线AD、PD交直线于两点，则的最小值为 ． y 你能利用我们所探究的结论来解决（4）吗？ 思考2：以江苏2011年高考试题第18题为例，能否对第（3）问的结论作一般性研究？即对于椭圆，满足题设的PA、PB的斜率乘积是否为定值？ OB O B C F1 F2 D x y 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 ()的左、右焦点，B，C分别为椭圆的 上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若 ，则直线的斜率为 解答：由结合余弦定理，可得椭圆离心率为， 而后利用椭圆圆周角性质定理易得结果。 2. 椭圆与轴交与两点，是椭圆上任一点，直线分别与直线交与两点，问以为直径的圆是否过定点？定点为， 3. 已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦，交椭圆于两点（1）当直线斜率为1时，求点的坐标 （2）当直线斜率为时，直线是否过轴上的一定点 （2）由（1）知过定点 由 ，同理 思考：坐标平面上有两个定点和动点，如果直线的斜率之积为定值，试讨论点的轨迹. 4:已知是椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上任一点，直线分别与轴交于点两点，求证：为定值 解：设 = 为定值 思考：在双曲线中能否给出类似的结论？ 已知AB是过双曲线的中心的一条弦，是 双曲线上异于顶点的一点，设直线的斜率分别 为，则=___________