数列练习题(含答案)基础知识点.docxVIP

数列基础知识点和方法归纳 等差数列的定义与性质 定义： an 1 an d （ d 为常数）， an a1 n 1 d 等差中项： x， A， y 成等差数列 2A x y a1 an n n n 1 d 前 n 项和 Sn na1 2 2 性质： an 是等差数列 （ 1）若 m n p q ，则 am an ap aq； （ 2）数列 a2n 1 , a2 n , a2 n 1 仍为等差数列， Sn， S2 n Sn， S3 n S2 n?? 仍为等差数列， 公差为 n2 d ； （ 3）若三个成等差数列，可设为 a d， a， a d （ 4）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn，Tn ，则 am S2 m 1 bm T2 m 1 （ 5） an 为等差数列 Sn an2 bn （ a， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函 数） Sn 的最值可求二次函数 Sn an2 bn 的最值；或者求出 an 中的正、负分界项， 即：当 a1 0， d 0 ，解不等式组 an 0 an 1 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. 0 an 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. 当 a1 0，d 0 ，由 10 an (6)项数为偶数 2n 的等差数列 an ，有 S2n n(a1 a2 n ) n(a2 a2n 1 ) n( an an 1 )(an , an 1为中间两项 )  S偶 S奇 nd ， S奇 an . S偶 an 1 （ 7）项数为奇数 2n 1 的等差数列 an ， 有 S2 n 1 (2n 1)an (an为中间项 ) ， S奇 S偶 an ， S奇 n . S偶 n 1 等比数列的定义与性质 定义： an 1 q （ q 为常数， q 0）， an aq 1 n 1 an . 等比中项： x、 G、 y 成等比数列 G2 xy ，或 Gxy . na1 (q 1) 前 n 项和： Sn a1 1 qn （要注意！） 1 ( q 1) q 性质： an 是等比数列 （1）若 m n p q ，则 am·an ap·aq （2） Sn，S2n Sn，S3n S2n?? 仍为等比数列 ,公比为 qn . 注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？ 1 时， a1 S1 ； n 2 时， an Sn Sn 1 . 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 an ， 1 a1 1 a2 ?? 1 an 2n 5 ，求 an 2 22 2n 1 解 n 1 时， 1 a1 2 1 5 ，∴ a1 14 ① 2 n 2 时， 1 a1 12 a2 ?? 1n 1 an 1 2n 1 5 ② 2 2 2 ①—②得： 1 an 2，∴ an n 1 ，∴ an 14 (n 1) 2n 1 ( n 2) 2n 2 ［练习］数列 an 满足 Sn Sn 1 5 an 1， a1 4，求 an 3 注意到 an 1 Sn 1 Sn ，代入得 Sn 1 4 又 S1 4 ，∴ Sn 是等比数列， Sn 4n Sn ； n 2 时， an Sn Sn 1 ?? 3·4n 1 （ 2）叠乘法 如：数列 an 中， a1 an 1 n ，求 an 3， n an 1 解 a2 a3 an 1 2 n 1 an 1 又 a1 3 · ?? · ?? n ，∴ n 3，∴ an a1 a2 an 1 2 3 a1 n . （ 3）等差型递推公式 由 an an 1 f ( n)，a1 a0 ，求 an ，用迭加法 a2 a1 f (2) n 2 时， a3 a2 f (3) 两边相加得 an a1 f (2) f (3) ?? f (n) ?? ?? an an 1 f ( n) ∴ an a0 f (2) f (3) ?? f (n) 2 ，求 an （ an 1 n ［练习］数列 an 中， a1 1， an 3n 1 an 1 n 2 3 1 ）  可转化为等比数列，设 an x c an 1 x an can 1 c 1 x 令 (c 1)x d ，∴ x d ，∴ an d 是首项为 a1 d ， c 为公比的等比数列 c 1 c 1 c 1 ∴ an d a1 d · cn 1 ，∴ an a1 d cn 1 c d c 1 c 1 c 1 1 （5）倒数法 如： a1 1， an