上海交通大学数学科学学院数学实验人口预测陈贤峰.pptVIP

陈贤峰 将以上结果进行比较，得： 两种拟合的误差比移动平均法和指数平滑法要小，但与考虑线性趋势的指数平滑法相仿；同时，在预测上，基于回归分析的两种长期预测的误差要小得多。 比较直线拟合和指数拟合，发现在给定数据范围内（1900-1950），直线拟合还略好一些，但【表7】表明，对于长期预测，则指数曲线拟合要好很多。 陈贤峰 5.长期预测的微分方程法 前面介绍的方法都基于给定的统计数据进行外推和拟合，并不涉及人口增长的内在机制。即使用（10）式进行预测，当时间趋于无穷大时，人口也趋于无穷大，显然不合理。例如用（13）式预测美国人口，到2100年，达到5亿7七万；到2200年，更超过11亿。 微分方程法是试图从人口发展的机理出发，建立相应的微分方程，再求解。其中的参数则通过历史数据的统计来确定。 陈贤峰 （1）马尔萨斯(Malthus)模型 马尔萨斯早在1798年就建立如下模型： 设 时刻总人数为 ，自然增长率r =出生率-死亡率=const，则 从而得到微分方程和初始条件 （15） 容易求出其解为 （16） 陈贤峰 对（16）式两边取对数，类似回归分析的思路，作误差函数，并求极小，即 这正是（10）的形式。由于 已知，只有一个参数 于是 （17） 陈贤峰 用【表2】前半世纪数据，用（16）-（17）式进行实验，先求出： 拟合及预测结果如下表所示： 年份 统计值（千） 拟合值（千） 绝对 误差 （千） 相对误差 （%） 1900 76094 76094 0 0 1905 83822 81852 1970 2.3 1910 92407 88046 4361 7.0 1915 100546 94708 5838 5.8 1920 106461 101874 4587 4.3 陈贤峰 【表8】用马尔萨斯模型拟合美国人口（1） 1925 115829 109583 6246 5.4 1930 123077 117875 5202 4.2 1935 127250 126794 456 .4 1940 132122 136389 4267 3.2 1945 139928 146709 6781 4.8 1950 152271 157810 5539 3.5 陈贤峰 【表8】回归分析法拟合美国人口（2） 平均绝对误差为4113；平均相对误差为3.5%. 年份 统计值 预测值 绝对误差 相对误差 1955 165931 182479 16548 10.0 1960 180671 196287 15616 8.6 1965 194303 211140 16837 8.7 1970 205052 227116 22064 10.8 1975 215973 244302 28329 13.1 陈贤峰 【表9】用马尔萨斯模型预测美国人口（1） 1980 227225 262788 35563 15.7 1985 237924 282673 44749 18.8 1990 249464 304062 54598 21.9 1995 262803 327070 64267 24.4 2000 281422 351819 70397 25.0 陈贤峰 【表9】用马尔萨斯模型预测美国人口（2） 平均绝对误差36897，平均相对误差15.7% ； 比指数曲线拟合及预测误差大，原因在于 的随机性。 陈贤峰 （2）逻辑斯蒂(Logistic)模型 正如前面指出的，（16）式将导致人口无限膨胀，要害是把自然增长率看作常数。1838年Virhust提出改进模型。假设人口有一个上限 ，自然增长率为 ，当达到时，增长率为零。由此得到微分方程和初始条件 (17) 这个方程也称为逻辑斯蒂方程。 陈贤峰 1）三点公式确定人口上限 它是一阶可分离变量方程。 （18） 其中 。 （18）式有3个参数： 和 ，很难化为线性回归。而非线性回归比较复杂。 记 ，并对（18）式取倒数，化为 陈贤峰