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* 3. 矢量场的散度 散度的定义 在场空间中任意点M 处作一个包围体积元 的闭合曲面S，定义场矢量 在M 点处的散度为： 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)； 说明 (正源) (负源) (无源） * 矢量场的散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数； 若 ，则该矢量场称为有散场，?为源密度 若 处处成立，则该矢量场称为无散场 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的计算公式 * ★ 直角坐标系下散度表达式的推导 则穿过前、后两侧面的净通量值为 取包围P点的微体积元?V 为一直平行六面体，如图所示。则 o x y 在直角坐标系中计算 z z D x D y D P 同理，求出穿过另两组侧面的净通量，并合成之，即得 根据定义，得 * 散度的有关公式： * 4. 散度定理（矢量场的高斯定理） 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 意义：矢量场穿过空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围体积中矢量场的散度的体积分。 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系。 说明： 如何证明？ 应用散度定理要注意条件： ① 必须是封闭曲面 的各分量具有一阶连续 偏导数 * 1.5 矢量场的环流与旋度 矢量场的环流 流速场 电流的磁场 磁感应线 * 环流的概念 矢量场沿有向闭合曲线L的线积分称为该矢量对闭合曲线L的环流，即 环量的定义 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。 * 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 定义： 2. 环流面密度 说明： 环流面密度 是 在M点处沿 方向的漩涡源密度 在空间任一点M处以 为法向矢量做一面积元 ，则 环流面密度 与面元方向 有关。 的定义 * 而 推导 的示意图如图所示。 直角坐标系中 、 、 的表达式 o y Dz Dy L M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 * 于是 同理可得 故得 * 概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即 3. 矢量场的旋度 说明： 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 若 处处成立，则称其为无旋场 若 ，则称其为有旋场， 为漩涡源密度矢量 * 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 * 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 * 4. 斯托克斯定理 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 意义：矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量。 说明：斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式。 如何证明？ * 散度和旋度的比较 * 1.6 拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式： 圆柱坐标系 球坐标系 * 矢量拉普拉斯运算 概念： 即 注意：对于非直角分量， 直角坐标系中： 如： * 2. 格林定理 标量第一格林定理 S V ?,? 式中S 为包围V 的闭合曲面， 为表面S 的外法向矢量 标量第二格林定理： * 1.7 亥姆霍兹定理 在以 S 为边界的有限区域 V 内，任意矢量场由其在区域V内的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上 S 的分布）唯一确定，且可表示为： 式中： 1. 亥姆霍兹定理 有界区域V * 无界空间（不存在边界面） 亥姆霍兹定理表明： 在无界区域，矢量场可由其散度及旋度确定。 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场有关。 已知 矢量F 的通量源密度 矢量 F 的旋度源密度 场域 边界条件 在电磁场中 电、磁场的散度 电、磁场的旋度 场域边界条件 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。 * 2. 矢量场按源的分类 （1）无旋场 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 无旋场可以用