浙江省2019届数学中考专题复习专题十综合性压轴题训练1.docVIP

PAGE 专题十　综合性压轴题 类型一 函数中点的存在性问题 (2018·山东东营中考)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC. (1)求线段OC的长度； (2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的表达式； (3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)令y＝0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可； (2)根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC＝BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC的表达式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数的表达式即可； (3)过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线表达式，表示出纵坐标，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可． 【自主解答】 1．(2018·湖南衡阳中考)如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D. (1)若抛物线的表达式为y＝－2x2＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N. ①求点M，N的坐标； ②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由； (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 类型二 图形运动中的函数关系问题 如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝4eq \r(2) cm，BC＝2eq \r(5) cm，点P以1 cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点． (1)若CP⊥AB时，求t的值； (2)若△BCQ是直角三角形时，求t的值； (3)设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围． 【分析】(1)作CH⊥AB于H.设BH＝x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t＝2； (2)分两种情形求解即可解决问题； (3)分两种情形讨论，求出QM即可解决问题． 【自主解答】 2．(2018·广东中考)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连结BC. (1)填空：∠OBC＝ °； (2)如图1，连结AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度； (3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？ 类型三 点的运动中的计算说理问题 (2018·山东青岛中考)已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0＜t＜5. 根据题意解答下列问题： (1)用含t的代数式表示AP； (2)设四边形CPQB的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式； (3)当QP⊥BD时，求t的值； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题； (2)作PN⊥AB于N.连结PB，根据S＝S△PQB＋S△BCP，计算即可； (3)当PQ⊥BD时，∠PQN＋∠DBA＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝eq \f(QN,PB)＝eq \f(3,4)，由此构建方程即可解决问题； (4)存在．连结BE交DH于K，作KM⊥BD于M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH＝KM，BH＝BM＝8，设KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，(6－x)2＝22＋x2，解得x＝eq \f(8,3)，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF＝PN＝eq \f(3,5)(10－2t)，AF