高中数学必修4教案平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示与运算.docxVIP

- - 平面向量基本定理、 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： 1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； 2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达 . 教学重点：平面向量基本定理 . 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用 . 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 . 教学过程： 复习引入： 1．实数与向量的积：实数 λ与向量 a 的积是一个向量，记作： λ a 1） |λ a |=|λ || a |； 2） λ 0 时 λ a 与 a 方向相同； λ 0 时 λ a 与 a 方向相反； λ=0 时 λ a = 0 2．运算定律 结合律： λ (μ a )=( λμ ) a ；分配律： (λ +μ ) a =λ a +μ a ， λ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线则：有且只有一个非零实数 λ ，使 b =λ a . 二、讲解新课： 1．思考：（1）给定平面内两个向量 e1 ， e2 ，请你作出向量 3 e1 +2 e2 ， e1 -2 e2 ， （2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如 λ1 e1 +λ 2 e2 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1， λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 2．探究： 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线； 由定理可将任一向量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； 基底给定时，分解形式惟一 . λ1，λ2是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量 3．讲解范例： 例 1 已知向量 e1 ， e2 求作向量 2.5 e1 +3 e2 P 例 2 如图， 、 不共线 , 且 B OA OB AP t AB (t R ), 用 ， 表示 OP . OA OB 本题实质是 已知 O、 A、 B三点不共线， O A 若点 P 在直线 AB 上，则 OP mOA nOB, 且 m n 1. 4．练习 1： 1.设 e1、 e2 是同一平面内的两个向量，则有 A.e1 、 e2 一定平行 B.e1、 e2 的模相等  ( D ) C.同一平面内的任一向量  a 都有  a ＝λ e1+ μ e2(、 λ μ∈ R) D.若 e1、e2 不共线，则同一平面内的任一向量  a 都有 a = λ e1+ue2(、λu∈ R) 2.已知向量 a ＝ e1-2e2，b ＝ 2e1+e2，其中 e1、 e2 不共线，则 a+b 与 c ＝ 6e1-2e2 的关系（Ｂ ） A. 不共线 B.共线 C.相等 ３.已知 λ1＞ 0， λ2＞ 0， e1、 e2 是一组基底，且 不共线． (填共线或不共线 ).  D. 无法确定 a ＝ λ1e1+λ2e2，则  a 与  e1 不共线，  a 与  e2 5．向量的夹角  :已知两个非零向量  a 、b  ，作 OA  a ，OB  b  ，则∠ AOB ＝  ，叫向量  a 、 b  的夹角，当  =0°， a 、 b  同向，当  =180 °， a 、 b  反向，当  =90 °， a 与 b  垂直，记作 a ⊥  b  。 6．平面向量的坐标表示 1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。 2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？ 如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底 . 任 作 一 个 向 量 a ， 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 x 、 y ， 使 得 a xi yj ????○1 我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y) ????○2 其 中 x 叫做 a 在 x 轴 上 的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，○2 式叫做向量的坐标表示 .与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y) . 特别地， i (1,0) ， j (0,1) ， 0 (0,0) . 如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 OA a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定 . 设 OA xi yj ，则向量 OA 的坐标 (x, y) 就是点 A 的坐标；反过