高中数学必修2教案圆的一般方程.docxVIP

- - 圆的一般方程 三维目标： 知识与技能 ： (1) 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程 x2＋ y2＋Dx＋ Ey＋ F=0 表示圆的条件． (2) 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方 程．能用待定系数法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对 方程 x2 ＋y2＋ Dx＋ Ey＋F=0 表示圆的条件的探究 ，培养学生探索发 现及分析解决问题的实际能力 。 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质， 激励 学生创新，勇于探索。 教学重点： 圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据 已知条件确定方程中的系数， D、 E、 F． 教学难点 ： 对圆的一般方程的认识、掌握和运用 王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪 王新敞 教学过程： 课题引入 ： 问题：求过三点 A（ 0， 0）， B（1， 1），C（ 4， 2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦， 得用直线的知识解决又有其简单的局限性， 那 么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (x － a) 2＋(y － b) 2=r 2，圆心 (a ，b) ，半径 r ． 把圆的标准方程展开，并整理： x 2＋y 2－2ax－2by＋ a2＋ b2－ r 2=0． 取 D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 得 x2 y2 Dx Ey F 0 ① 这个方程是圆的方程． 反过来给出一个形如 x 2＋ y2＋ Dx＋Ey＋ F=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F=0 配方得 D 2 ( y E 2 D 2 E 2 4F )这个方程是不 ( x) ) 4 ② ( 配方过程由学生去完成 2 2 是表示圆？ (1) 当 D2＋E2 －4F＞ 0 时，方程②表示 （ 1）当 D 2 E 2 4F 0 时，表示以（ - D ， 2 - E ）为圆心 , 1 D 2 E 2 4 F 为半径的圆； 2 2 （ 2）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程只有实数解 x D ， y E ，即只表示一个 2 2 点（ - D ， - E ） ; 2 2 （ 3）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞 综上所述，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 表示的曲线不一定是圆 王新敞 只 有 当 D 2 E 2 4F 0 时 ， 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 ， 我 们 把 形 如 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 4 的表示圆的方程称为圆的一般方程 王新敞x 1y 我们来看圆的一般方程的特点： ( 启发学生归纳 ) 2 ①x 和 y 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项． 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究： 1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 1 4x2 4 y 2 4x 12 y 9 0 2 4 x2 4 y2 4x 12 y 11 0 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的 一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于1 4 x2 4 y2 4x 12y 9 0 来说，这 里的 D1, E 3, F 9 而不是 D=-4,E=12,F=9 . 4 2：求过三点 A （ 0， 0）， B （1， 1），C（ 4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件， 很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而 条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞 解：设所求的圆的方程为： x2 y 2 Dx Ey F 0 ∵ A(0,0), B(11，） ,C(4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解 . 把它们的坐标代入上 面的方程，可以得到关于 D , E, F 的三元一次方程组， F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0 解此方程组，可得： D 8, E 6, F 0 王新敞 ∴所求圆的方程为： x 2 y 2 8x 6 y 0 王新敞 r 1 D 2 E 2 4F 5 ； D 4, F 3 王新敞 2 2 2 得