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教堂顶部曲面面积的计算 应用背景 相关知识点 解题方法 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 解题过程 数学实验 数学实验 进一步的问题 * 某阿拉伯国家有一座伊斯兰教堂，它的大厅拱形圆顶部需重新贴金箔装饰. 据档案，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m .考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量会比教堂顶部面积多1.5％，据此财政部门拨出了可制造5750m2有规定厚度金箔的黄金. 建筑商哈桑计算了一下，觉得黄金会有盈余，于是他以较低的承包价得到了这项工程. 但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m .这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至是否可能短缺？最后的结果究竟如何？ 计算曲面面积是常见的重积分在几何中应用，其近似方法有广泛的实际用途。 1.用参数方程表示的曲面面积的计算 2.二元函数泰勒公式 3.定积分的近似计算（矩形法） 问题归结为一个二重积分的计算，但无法求出初等函数形式的原函数；通过引进小参数后将被积函数Taylor展开取得近似解析解再进行积分；另一种方法是将积分离散化作数值积分来求结果 。 第一步 ： 建立模型 取椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭球面的方程可写为 ， 其中 ， 而其表面积为 这里积分区域为: 第二步：化为极坐标 通过简单的计算易得 引进变量代换 得到 （*） 第三步 ：求积分 若记 ，那么上面累次积分中关于的积分可以求出为 （这里 的情况要对表达式求极限）.注意若将的表达式代入以上结果得到的是一个极为复杂的积分式.事实上,这是一个无法最终以初等函数形式来表达的积分，因此我们必须使用近似方法来处理它.考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可直接对原来的积分式（*）来进行处理. 第四步 ： 近似方法 由于 十分接近 ，可以引进小参数 ， 那么面积表达式(*)成为 对被积函数中 关于 和 展开（可用二元函数的Taylor公式展开或者将函数中的 看作一个整体来借助一元函数的Taylor公式进行展开），从而可得 第五步：计算结果 注意由于 都是很小的数.可以用上述展开式的前三项近似 代入原积分式，从而就能够逐项积分，求得： 这样求得教堂顶部表面积为 （m ）. 加上耗损等因素，使用金箔 . 故哈桑在金箔上将得不敷出，从而招受损失. 以上将 关于小参数展开取得近似解析式的方法称为摄动法. 第六步：数值积分法 对于二重积分，可如同定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似求积，再把所得的值求和. 考虑矩形区域 上的积分 将 划分作 个相等的小矩形 ,其中 分别是 和 方向的分点: ， 而 , ,那么小矩形上的积分可写为 记 ，则 若对这两个单积分都用梯形法，就有 以及 这样便可求得在D上的积分I的近似值 使用Mathematica实现上述数值积分计算：将区域分成m2个小矩形 键入 Clear[m,n,k,h,a,b,s,R]; a=30.6;b=29.6;R=30.;M={4,8,16,32,64}; f[x_,t_]:=a*b*Sqrt[t^2+R^2(1-t^2)*(Cos[x]^2/a^2+ Sin[x]^2/b^2)]; Y[i_,j_]:=k*h/4(f[x[i],t[j]]+f[x[i-1],t[j]]+ f[x[i],t[j-1]]+f[x[i- 1],t[j-1]]); For[n=1,n=Length[M],n++, m=M[[n]]; k=2Pi/m;h=1./m; x[0]=0;t[0]=0