临界点理论对非线性方程的应用.pdfVIP

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厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文,是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果,均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 责任人(签名):L桶 。毫年s只、侣 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版,有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅,有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索,有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。必威体育官网网址的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1、必威体育官网网址( ),在 年解密后适用本授权书。 2、不必威体育官网网址(∥ (请在以上相应括号内打”~/”) 作者签名:劫桶 日期: 口降明),细 导师签名:主1李式≥受 日期: 矿陴f月I尹 第一章引言 第一章引言 变分方法是人们用以理解数学及其应用的重要理论之一,变分方法不 仅用来解决许多重要的具体的问题,而且变分方法所蕴含的原理一变分原 理,是非常普遍的自然法则,来自物理,生物,经济,工程等不同分支的 许多自然现象都服从这一法则, 描述来自不同背景的自然现象都可以归结为各种非线性方程的求解问 题.而这些方程的求解从抽象的观点去考察,可以归结为求解如下形式的 非线性算子方程: Ax=0, (1.1) 这里A:X_y的一个映射,x和y是两个Bananch空间.当这个非线 性问题具有变分结构时,即存在可微泛函币:X—Y,使得 (A,秽):(西‰),秽):l。ira。垫兰掣,剐∈x. 这时空间y相应的是x的对偶空间x+,则求方程的弱解(1.1)等价于求 圣7(u)=0 (1.2) 的解u∈x,即札满足(西U),V)=0,Vv∈X. 我们称满足(1.2)的元素乱是泛函币的临界点,求解具有变分结构的 非线性问题的解等价于求其能量泛函的临界点,临界点理论就是研究泛函 临界点的存在性,多重性的数学理论. 近20年来,临界点理论在非线性问题方面得到了广泛的应用和发展, 近代变分方法也得到了重大发展,本文利用变分方法研究全空间上一类拟 线性椭圆方程的无穷多解的存在Jf生以及二阶差分方程的多重解的存在性. 我们将在第二章运用喷泉定理研究如下拟线性椭圆方程 z∈R‘Ⅳ 一△pu+6(z)l扎Ip一2札=f(x,“), (2.1) 考虑超线性的情形:lim b训。o{器瓮=+∞.但与通常的结果不同,我们的 f(x,u)不满足Ambrosetti—Rabinowit的超线性条件. 第一章引言 2 在第三章我们利用三临界点定理和Clark定理讨论如下二阶差分方程 n∈Z. (3.1) A(p。(Ax。一1)6)+f(n,z。)=0, 的多重m一周期解的存在性. 这里m≥2为一固定的整数,60,△z。=z。+1一z。,△2z。=A(Ax。), {鳓)是个实序列,并且满足对所有的n∈Z,Pn0,Pn+m=Pn.并且约定 (一1)5=一1. 具体的说,我们的主要结果如下: 定理2.1假设6(z)和

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