两类非线性扩散方程解的适定性分析.pdfVIP

摘要 摘 要 扩散普遍存在于自然现象中，例如，在渗透理论、生物化学、生物群体动力 学以及量子力学等领域都广泛存在扩散现象，而这些实际问题的扩散现象都可以 用扩散方程来表示。值得注意的是，非线性扩散方程比线性扩散方程更能真实地 表述扩散现象。因此，对非线性扩散方程的研究引起了许多数学家和物理学家的 高度重视。本文主要研究了两类非线性扩散方程：一类是具有分数阶扩散的Landau 方程；另一类是生物数学中具有非线性扩散的chemotaxi-Stokes方程组。本文研究 内容如下： 在绪论部分，主要介绍了两类非线性扩散方程(具有分数阶扩散的Landau 方程 和具有非线性扩散的 chemotaxi-Stokes 方程组) 的背景知识，并简要的概括了两类 方程已有的研究成果以及本文的主要贡献和创新。 研究具有分数阶扩散的Landau 方程的适定性。首先简要回顾了一些函数空间 的定义以及关于分数阶算子的先验估计；然后证明了分数阶Landau 方程解的适定 性；最后研究了非负整体解的渐近行为。 研究具有非线性扩散的3维chemotaxis-Stokes方程组的初边值问题。由于方程 组的退化性，首先研究该方程组的正则化问题，从而得到一些重要的先验估计； 然后考虑了方程组的逼近解；最后证明了当m  7 6 时弱解的整体存在性。 关键词：分数阶Landau 方程，chemotaxis-Stokes 方程组，局部适定性，弱解 的整体存在性，渐近行为 I ABSTRACT ABSTRACT There are lots of diffusion phenomena in nature, for instance, in the field of biochemistry, biological population dynamics and quantum mechanics. These diffusion phenonmena can be modelled by partial differential equations with diffusion terms. It is well known that the nonlinear diffusion equations are more authentic than the linear ones to describe some pritical phenomenona. Therefore, the study of nonlinear diffusion equations has attracted many mathematicians and physicists’ attention. In this thesis, we focous on two types of nonlinear diffusion equations: one is the Landau equation with fractional diffusion; the other is the chemotaxi-Stokes equation with nonlinear diffusion. This paper consists of the following contents: We review some background knowledges of two classes of the nonlinear diffusion equations (i.e., the fractional Landau equation and the chemotaxi-Stokes equation), and then summarize some related works and our main results. We devote to investigating the well-posedness of the fractional L