高中数学算法案例-辗转相除法和更相减损术课件.pptVIP

* * * 1.3.1 算法案例(一)—辗转相除法与更相减损术 第一章 算法初步 教学目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序. 教学重点 ：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法 教学难点 ：辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 3 5 9 15 [问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 〖创设情景，揭示课题〗 18 30 2 3 ∴18和30的最大公约数是2×3=6. 方法：先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 练习1(1)求25和35的最大公约数,(2)求49和63的最大公约数. 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 〖创设情景，揭示课题〗 [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数? 思路1：试值？！ 何时结束？有何好的方法？ 案例一：辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了. 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数. 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例如，用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 新课讲解： 一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 问题提出：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 算法分析：从上面对辗转相除法的认识中可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法。 算法步骤： 第一步，给定两个正整数m ， n(mn)。 第二步，计算m除以n所得的余数r。 第三步，m=n ， n=r 。 第四步，若r=0，则m , n的最大公约数等于m ；否则，返回第二步。 否 思考：画出辗转相除法的程序框图并设计其程序 开始 输入两个正数整m,n r=m MOD n r=0? 输出m 结束 m=n n=r 是 INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n0？ 否 输出m 结束 是 n=r INPUT m，n WHILE n0 r=m MODn m=n n=r WEND PRINT m END 思考：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试写出算法步骤、程序框图和程序。 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n0？ 否 输出m 结束 是 n=r INPUT m，n WHILE n0 r=m MODn m=n n=r WEND PRINT m END 二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 （1）、《九章算术》中的更相减损术： 1、背景介绍： （2）、现