高中数学专题-圆锥曲线的参数方程-学案设计.docxVIP

高中数学专题　圆锥曲线的参数方程 [学习目标] 1.掌握椭圆的参数方程及应用. 2.了解双曲线、抛物线的参数方程. 3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接] 1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？ 提示　椭圆的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acos φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示　sec φ＝eq \f(1,cos φ)，其中φ∈[0，2π)且φ≠eq \f(π,2)，φ≠eq \f(3,2)π. 3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？ 提示　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt，,y＝2pt2))(p＞0，t为参数，t∈R.) [预习导引] 1.椭圆的参数方程 普通方程 参数方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acos φ,y＝bsin φ))(φ为参数) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝bcos φ,y＝asin φ))(φ为参数) 2.双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asec φ，,y＝btan φ))(φ为参数) 3.抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t∈R，t为参数). (2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 要点一　椭圆参数方程的应用 例1　已知A、B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程. 解　由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6＋0＋6cos θ,3)，,y＝\f(0＋3＋3sin θ,3)))(θ为参数)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cos θ，,y＝1＋sin θ.)) 故重心G的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cos θ，,y＝1＋sin θ))(θ为参数). 规律方法　本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便. 跟踪演练1　已知曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cos t，,y＝3＋sin t))(t为参数)，曲线C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1. (1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq \f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值. 解　(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cos t，,y＝3＋sin t，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos t＝x＋4，,sin t＝y－3.)) ∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆. 曲线C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. 其参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cos θ，,y＝3sin θ，))(θ为参数) (2)依题设，当t＝eq \f(π,2)时，P(－4，4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cos θ，2＋\f(3,2)sin θ)). 又C3为直线x－2y－7＝0， M到C3的距离d＝eq \f(\r(5),5)|4cos θ－3sin θ－13| ＝eq \f(\r(5),5)|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝eq \f(4,5)，sin θ＝－eq \f(3,5)时， eq \b\lc