泛函分析中不动点理论及其应用.docxVIP

TOC \o 1-5 \h \z 内容摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key Words 1 1?引言 1 不动点定义及定理介绍 2 1不动点相关定义 2 2不动点思想 2 3不动点相关定理 6 不动点思想在其他学科的应用 8 1在求数列通项公式中的应用 8 3?2在求方程解中的应用 11 3在求函数解析式屮的应用 12 不动点定理在证明中的应用 14 1应用不动点定理证明数列极限 14 2应用不动点定理证明隐函数定理 15 4.3应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 17 4.4应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 17 4.5不动点定理在图论中的证明 14 参考文献 18 致谢 19 内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理 做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解 析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性 定理做出了证明。 关键词：不动点 不动点思想 不动点定理 应用 Abstract： Key words： 1-引言 泛函分析是木世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和 广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各 个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在 性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析屮都归结为一个定理一一不动点 定理。这正是抽象的结果。 不动点定理实际上是算子方程Tx = x的求解问题，是分析学的各个分支中存 在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中 Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序, 给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域屮也有着广泛的应用，在 现代数学发展中有着重要的地位和作用。 不动点相关定义及定理介绍 2. 1不动点相关定义 定义1设X为非空集合，T:X? X是一个映射，如果$兀？ X使得Tx = x成 立，则称兀为映射T的一个不动点。 特别地，函数/（X）是定义在D1 /?±的函数，如果$x? D使得/（x）=x成 立，则称尢为函数/（兀）的一个不动点。 定义2设（X*）是距离空间，T是X到其自身的映射，且对于任意的 x.yt X ,不等式厂（7XQ）￡〃（x,y）都成立，其屮q是满足0?q 1的常数。则 称卩是X上的压缩映射。 2?2不动点思想 首先，对于函数y = f（x）的不动点，有两个方面的理解： 1） 丿=/（兀）的不动点，是方程/（兀）■兀二0的根。 2） y = /（x）的不动点’是函数歹=/（兀）与y二兀的交点。 有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的 交点。 其次，由于/(兀)7/(/(兀))二/⑴…无论迭 代多少次，总是X本身，所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。 2. 3不动点相关定理 定理1设(X,厂)为完备的距离空间，卩是X上的压缩映射，则T在X中存 在唯一的不动点，即存在唯一的盘X,使得Tx = x.并且该不动点可以用迭代 法求得。 有时候映射T不能满足定理1的条件，故不能应用它，因此有必要将定理加 以拓广，由此得到定理2。 定理2设(X』)为完备的距离空间，了是X到其自身的映射，如果存在常 数g:O?g 1以及自然是％使得对丁?任意的成 立，那么T在X中存在唯一的不动点。 为使用的方便，由上述定理1的证明过程，容易得到下面的定理3。 定理3若数列仇｝满足条件卜“+2?￡+」？”兀“+| X?\斤= 1,2,3,???(()?广1) 则｛兀”｝1定存在极限。 在定理1中取X=R,r为R中常见距离，则又可以得到下述定理4。 定理4若函数/(兀)是定义在Dl /?±的函数，若”兀,y?D, ty? [0,1)使得 卜y\,那么函数/(兀)在D中存在唯一不动点。 若/(x)满足更强的条件，在D是可导，则由微分中值定理，可得定理5。 定理5 若函数/(x)是定义在DI R ±的可导函数，且满足 ”兀危D,|严⑴| K ,其屮0?K 1,则函数/(x)在D屮存在唯一不动点。 将此结论应用到数列中，有可得到下述的定理。 定理6 设函数y = /(x),x? D可导且满足|/^x)|? K 1 ,定义数列 ￡+1 =/(%?)，兀=1,2,3,…那么仇｝一定存在极限。 有了上述一系列的定理，我们可以应用它们解决很多问题。 3?不动点思想在其他学科的应用 3.1在数列通项公式中的应用 命题1若函数/（兀）二czx+b ,兀°为/（兀）的不动点,{%}满足％+] =/（陽）贝0 {an }是以a为公比的等比数列。 则有: （1 （1）若/（兀）有两个不动点pg, （2）若/（x）只