矩阵多项式的性质讨论毕业论文.doc

PAGE PAGE 17 矩阵多项式的性质讨论 摘 要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。 关键词： 矩阵多项式 特征多项式 最小多项式 特征值 秩 迹 Matrix to discuss the nature of polynomial Cui Xiangxing Class 11 department of Mathematics Tutor: Guo Zhonghai Abstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the characteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions. Key words: Matrix polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue. 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc201471871 1 引言 PAGEREF _Toc201471871 \h 3 HYPERLINK \l _Toc201471872 2 矩阵多项式的基本性质 PAGEREF _Toc201471872 \h 3 HYPERLINK \l _Toc201471873 2.1矩阵多项式的特征值 PAGEREF _Toc201471873 \h 3 HYPERLINK \l _Toc201471875 2.2矩阵多项式的秩 PAGEREF _Toc201471875 \h 5 HYPERLINK \l _Toc201471876 2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结 PAGEREF _Toc201471876 \h 7 HYPERLINK \l _Toc201471877 2.4矩阵多项式的迹 PAGEREF _Toc201471877 \h 10 HYPERLINK \l _Toc201471883 3 矩阵多项式性质的应用 PAGEREF _Toc201471883 \h 13 HYPERLINK \l _Toc201471884 3.1矩阵多项式成为恒等式的应用 PAGEREF _Toc201471884 \h 13 HYPERLINK \l _Toc201471885 3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用 PAGEREF _Toc201471885 \h 14 HYPERLINK \l _Toc201471889 参考文献 PAGEREF _Toc201471889 \h 18 HYPERLINK \l _Toc201471891 谢 辞 PAGEREF _Toc201471891 \h 19 1 引言 定义1：设是复数域的一个子域，记表示在上关于的所有多项式全体，记表示与的最大公因子(其中)。 定义2：记表示上阶矩阵构成的矩阵集合。取，记为的最小多项式（其次数），记为的特征多项式。表示的单位矩阵。 定义3：, 则称为的多项式，显然若为矩阵，则无意义。 定义4：，表示矩阵的秩，并把简计为。 下面一切符号从上，除非有特别说明 本文第一部分主要探讨的一些基本性质，第二部分则着重解决矩阵多项式在代数学中的应用。同时也给出本人的证明方法。 2 矩阵多项式的基本性质 矩阵多项式是矩阵分析中一个重要组成部分,也是控制论或系统工程的一个重要工具，它具有很多良好的性质，因此对矩阵多项式不同性质的讨论，可加深对矩阵理论的认识，使矩阵理论更具完备性。 2.1矩阵多项式的特征值 定理1 设B 且具有n个不同的特征值,是n个任意给定的复数，则存在多项式 …，使得是A=的特征值。 证明:设B且具有n个不同的特征值,构造线性方