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第一学期高等数学期中考试试卷答案 PAGE 1 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 8 页 第一学期高等数学期中考试试卷答案 一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．已知，则______________________________． 2．设，则______________________． 3．设函数由方程所确定，则_______________． 4．设为可导的奇函数，且，则________________． 5．函数在区间上的最小值为_____________． 答案： ⒈ ； ⒉ ； ⒊ ； ⒋ ； ⒌ ． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．数列极限是________ ． ． ； ．； ．； ．不存在但非． 2．函数不可导点的个数是______________． . 3 ； . 2 ； . 1 ； . 0 ． 3．设可导且，则时，在点处的微分是____． .比低阶的无穷小； .比高阶的无穷小； .与同阶的无穷小； .与等价的无穷小． 4．已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数为___________． .； . ； . ； .． 5．设，其中在上恒为正值，其导数为单调减少函数，且，则___________ ． ．曲线在点处有拐点； ．是函数的极大值点； ．曲线在上是凹的； ．是在上的最小值． 答案： ⒈ ； ⒉ ； ⒊ ； ⒋ ； ⒌ ． 三．（本题满分6分） 设，，求极限． 解： ， 四．（本题满分7分） 设，极限不存在，试问极限 是否存在？并证明之． 解： 极限不存在． 反证法：如果极限存在，由极限存在，可知极限 存在，即极限存在，这与题设中不存在矛盾，因此极限不存在． 五．（本题满分7分） 设 ，试确定、之值，使得函数在点处连续． 解： ， ， ， 所以，由，得； 由，得． 因此，当，时，函数在点处连续． 六．（本题满分8分） 设函数由参数方程所确定，求． 解： ， ． 七．（本题满分8分） 求对数螺线（由极坐标方程给出）在点处的切线的直角坐标方程． 解： 我们将其转换为参数方程 ． 在本题中，转换后的参变量方程为 ． 这时，我们将看作参变量，利用参变量方程的求导方法，我们有 ． 当时，，，． 因此，所求切线方程为，即 ． 八．（本题满分8分） 求曲线的铅直渐近线与水平渐近线． 解： 由于； 所以，是曲线的水平渐近线；由于 ， 所以，与都是曲线的两条铅直渐近线． 九．（本题满分8分） 求数列的最大项．（已知） 解： 设 ， 则，令，得在内的唯一驻点为 当时，；当时，． 所以是函数在区间上的极大值点，也是最大值点． 由于，且， ， 所以数列的最大项为 ． 十．（本题满分9分） 论证与的大小． 解： 由于，因此只需讨论与的大小． 设，则 令，得函数的驻点． 由于，所以函数在点处取极小值 由于点是函数的唯一极值点，因而也是函数的最小值点．因此当时，．因此由，知，即 ，或 所以，，即． 十一．（本题满分9分） 设函数在闭区间上可微，对闭区间上的每一点，函数的值都在开区间内，且．证明：在开区间内仅有唯一的一点，使得． 解： （存在性）：令，则函数在闭区间上连续，且当时，由 ， 所以，，． 因此由连续函数的零点定理，知至少存在一点，使得．即至少存在一点，使得． （唯一性）：若存在两点，，使得 ， 由Lagrange中值定理，知至少存在一点，使得 这与题设中任意，相矛盾．因此，在开区间内仅有唯一的一点，使得．